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| Solução de Integral Dupla de Logaritmo https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=17&t=8584 |
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| Autor: | calbferreira@2 [ 26 abr 2015, 01:54 ] |
| Título da Pergunta: | Solução de Integral Dupla de Logaritmo |
\(\int_{1}^{e}\int_{1}^{e}ln(xy)dydx\) |
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| Autor: | pedrodaniel10 [ 26 abr 2015, 02:32 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Solução de Integral Dupla de Logaritmo |
Vamos aplicar integração por partes na integral mais de dentro: \(u=\ln(xy) du=\frac{x}{xy}=\frac{1}{y} dy dv=dy v=y\) \(\int_{1}^{e}\ln(xy)\: dy=\ln(xy)\cdot y-\int y\cdot \frac{1}{y} dy =\left [ \ln(xy)\cdot y-y \right ]_{y=1}^e=e\cdot (\ln(xe)-1)-(\ln (x)-1)\) \(\int_{1}^{e}e\cdot (\ln(xe)-1)-(\ln (x)-1) \:dx=e\int_{1}^{e}\ln(xe)\, dx+(1-e)\int_{1}^{e}dx-\int_{1}^{e}\ln(x)\, dx\) Veja se já consegue terminar, qualquer coisa estou aqui. |
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| Autor: | calbferreira@2 [ 26 abr 2015, 14:52 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Solução de Integral Dupla de Logaritmo |
Apenas não entendi como você chegou na parcela abaixo da equação. ...\(+(1-e)\int_{1}^{e}dx-\)... |
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| Autor: | pedrodaniel10 [ 26 abr 2015, 15:12 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Solução de Integral Dupla de Logaritmo |
Coloquei \(\int_{1}^{e}dx\) em evidencia. |
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| Autor: | calbferreira@2 [ 26 abr 2015, 22:40 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Solução de Integral Dupla de Logaritmo |
Não consegui chegar à solução final. Solução: 2e-2 |
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| Autor: | Sobolev [ 27 abr 2015, 08:46 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Solução de Integral Dupla de Logaritmo |
Pode também fazer umas continhas antes de chegar a primitivar... \(\int_{1}^{e}\int_{1}^{e}ln(xy)dydx = \int_{1}^{e}\int_{1}^{e}\ln x + \ln y dydx = \int_{1}^{e}\int_{1}^{e}\ln x dydx + \int_{1}^{e}\int_{1}^{e} \ln y dydx = (e-1)\int_1^e \ln x dx+ (e-1)\int_1^e \ln y dy = 2(e-1) \int_1^e \ln x dx\) |
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| Autor: | calbferreira@2 [ 27 abr 2015, 18:16 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Solução de Integral Dupla de Logaritmo |
Resolvendo a partir de sua solução: \(2(e-1)\int_{1}^{e}lnxdx\) = \(2(e-1)\frac{1}{x}_{1}^{e}\) = \(2(e-1)(\frac{1}{e}-1)\) = \((2e-2)(\frac{1}{e}-1)\) = \(4-\frac{2}{e}-2e\) = ???? |
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| Autor: | pedrodaniel10 [ 27 abr 2015, 23:36 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Solução de Integral Dupla de Logaritmo [resolvida] |
A antiderivada de ln x não é 1/x mas sim: \(\int \ln x\: dx=x(\ln x-1)+C\) |
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