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| equação diferencial linear homogênea de 2ª ordem https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=17&t=9698 |
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| Autor: | luizgofone [ 19 Oct 2015, 14:35 ] | ||
| Título da Pergunta: | equação diferencial linear homogênea de 2ª ordem | ||
 Não consegui desenvolver a solução para o seguinte problema: Uma partícula de massa m=1 desloca-se sobre o eixo Ox sob a ação da força elástica -2xi e de uma força de amortecimento proporcional a velocidade e dada por -3xi. (Sendo i um vetor) Determine a posição x=x(t), t maior ou igual a zero, da partícula no instante t e discuta o movimento, supondo:a) X(0) = 1 e x(0) = 0 b) X(0) = 1 e x(0) = -2
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| Autor: | Sobolev [ 20 Oct 2015, 09:44 ] |
| Título da Pergunta: | Re: equação diferencial linear homogênea de 2ª ordem |
Recordando a velhinha segunda lei de Newton, sabe que F = m a, como a aceleração é a segunda derivada do deslocamento e m=1, pode neste caso concluir que \(\ddot{x}(t) = F(t)\) Além disso A força resultante (soma da força elástica e de amortecimento) é dada por \(F(t) = -2x(t) - 3\dot{x}(t)\). A equação diferencial que determina o movimento é então: \(\ddot{x}(t) + 3 \dot{x}(t)+2x(t)=0\) Trata-se de uma equação diferencial linear, homogénea, de coeficientes constantes, cuja solução geral é \(y(t)\to c_1 e^{-3 t/2} \sin \left(\frac{\sqrt{3} t}{2}\right)+c_2 e^{-3 t/2} \cos \left(\frac{\sqrt{3} t}{2}\right)\) Usando as condições iniciais dadas pode calcular em cada caso as constantes c1 e c2. |
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