Encontrar coeficiente de x em sequência - Discreta

[pedreira91]

Alguém em ajuda ?

Encontrar o coeficiente de x^27 em (x^3+x^4+...)^6

[jorgeluis]

fazendo a soma da PG:

x³ + x⁴ + ... + x²⁶ = k

\(k = \frac{x^3.(x^24 - 1)}{x - 1}\)

e colocando x²⁷ = y

teremos:

(k + y)⁶ =

pelo desenvolvimento do binômio de newton, temos:

C_6,0k⁶y⁰ + C_6,1k⁵y¹ + ... + C_6,5k¹y⁵ + C_6,6k⁰y⁶ =

logo,
C_6,1k⁵y¹ =

C_6,1 = \(\frac {6!}{1!(6-1)!} = 6\)

6k⁵y¹

6k⁵x²⁷

[Rui Carpentier]

\((x^3+x^4+\cdots )^6=x^{18}(1+x+x^2+\cdots )^6=x^{18}(1-x)^{-6}=x^{18}\sum_{k=0}^{\infty}{-6 \choose k}(-x)^k=\sum_{k=0}^{\infty}{-6 \choose k}(-1)^kx^{k+18}\)

Nota: Usamos aqui a série binomial: \((1+x)^\alpha=\sum_{k=0}^{\infty}{\alpha \choose k} x^k\) onde \({\alpha \choose k}=\frac{\alpha(\alpha -1)\cdots (\alpha -k+1)}{k!}\).

Assim sendo, o coeficiente de x^27=x^{9+18} é dado por \({-6 \choose 9}(-1)^9=\frac{6\cdot 7\cdots 14}{9!}=\frac{14!}{5!9!}=2002\).