Não é muito perceptível que tipo de possibilidades quer. Olhando para o esboço de resolução que apresentou fico com a ideia que só interessa o nº de unidades (de cada tipo*) que cada lote contêm e que os lotes são numerados. Por exemplo, quando diz que há 12 possibilidades de ter dois lotes (sem contar com as unidades sem cozinha): (A,B)=(1,12),(2,11),...,(12,1), há distinção entre (1,12) e (12,1) mas não importa quais as unidades que ficam em cada um dos lotes. Se for assim, a solução seria \(\sum_{k=1}^{13}{12\choose k-1}\times {31+k-1\choose k-1}\) onde \({n\choose k}\) designa o número de escolhas de k elementos em n possíveis. Numa breve explicação da fórmula, há \({12\choose k-1}\) maneiras de distribuir 13 unidades em k lotes de modo que cada lote receba pelo menos uma unidade desse tipo e \({31+k-1\choose k-1}\) maneiras de distribuir as restantes 31 unidades nos k lotes sem mais restrições.
Para mim o mais natural seria que distinguir distribuições com diferentes unidades mesmo que preservassem o nº de unidades por lote (por exemplo {{a},{b,c}} seria distinto de {{b},{a,c}}). Nesse caso a fórmula seria \(\sum_{k=1}^{13}\left\{{12\atop k}\right\}\times k^{31}\) onde \(\left\{{12\atop k}\right\}\) (
o número de Stirling de 2ª espécie S(13,k)) dá-nos o nº de partições de um conjunto de 13 elementos em k conjuntos não-vazios e \(k^{31}\) dá-nos o nº de funções de um conjunto de 31 elementos para um conjunto de k elementos (note que uma distribuição das 31 unidades sem cozinha nos k lotes corresponde a uma função que a cada unidade atribui o lote para onde foi).
* com cozinha ou sem cozinha