Duvida em provar por Indução

[carlosecc]

Prezados me deparei com esta questão \(2^{3n}\) - 1 é divisivel por 7. Bem sabemos que na indução temos que realizar a base onde substituimos o n por 1 que é o P(1) apos fazemos a hipotese o P(K) onde substituimos o n por K e finalmente a conclusão onde subtituimos o n por K + 1 que é o P(K+1). Comecei a fazer assim fiz a base que da 7 = 7 ok, mas minha duvida como é que faço o P(K) e o P(K+1), se puderem me ajudar o quanto antes é que tenho prova semana que vem, desde ja gradeço a quem responder.

[Fraol]

Boa noite,

P(k): \(2^{3k-1} = 7 \cdot p => 2^{3k}.2^{-1} = 7 \cdot p\) então\(2^{3k} = 7 \cdot p \cdot 2\).

P(k+1): \(2^{3(k+1)-1} = 7 \cdot q => 2^{3k + 2} = 7 \cdot q <=> 2^{3k} \cdot 2^2 = 7 \cdot q\).

Mas, pela hipótese P(k), \(2^{3k} = 7 \cdot p \cdot 2\), então \(7 \cdot p \cdot 2 \cdot 2^2 = 7 \cdot q\).

Ou seja: \(7 \cdot ( 8 \cdot p ) = 7 \cdot q\), o que claramente, mostra que P(k+1) é válida.

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[carlosecc]

Obrigado fraol agora poderei aplicar no restante dos exercicios.

[Fraol]

Olá,

Uma observação em relação a essas provas por indução, o caminho mais adequado para provar P(k+1) seria:

P(k+1): \(2^{3(k+1)-1} = 2^{3k + 2} = 2^{3k} \cdot 2^2\).

Mas, pela hipótese P(k), \(2^{3k} = 7 \cdot p \cdot 2\), então

\(2^{3k} \cdot 2^2 = 7 \cdot p \cdot 2 \cdot 2^2 = 7 \cdot ( 8 \cdot p )\) o que mostra que P(k+1) é divisível por 7.

Veja que é um caminho levemente diferente do anterior pois não pressupõe que P(k+1) é válida, mas desenvolve a expressão de P(k+1), usa a hipótese, P(k), e então conclui que P(k+1) é válida.

Bons estudos.

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[carlosecc]

Ok não fiz todos mas usarei as dicas.