(n+1)!-(n-1)!/n!-(n-1)! - Favor detalhar resolução.

[NiGoRi]

(n+1)!-(n-1)!/n!-(n-1)!

Alguém pode detalhar a resolução, por favor.

Eu tenho uma resolução na apostila que estudo, porém, está muito direta.

(n+1)!-(n-1)!/n!-(n-1)!
(n+1)n(n-1)!-(n-1)!/n(n-1)!-(n-1)!
(n-1)!(n^2+n-1)!/(n-1)!(n-1)
n^2+n-1/n-1

Eu não entendi muito bem como faz as simplificações.

Agradeço desde já.

[vestibulando123]

(n+1)!-(n-1)!/n!-(n-1)!

Alguém pode detalhar a resolução, por favor.

Eu tenho uma resolução na apostila que estudo, porém, está muito direta.

(n+1)!-(n-1)!/n!-(n-1)!
(n+1)n(n-1)!-(n-1)!/n(n-1)!-(n-1)!
(n-1)!(n^2+n-1)!/(n-1)!(n-1)
n^2+n-1/n-1

Eu não entendi muito bem como faz as simplificações.

Agradeço desde já.

Oi,

Pelo que entendi é

\(\frac{(n+1)!-(n-1)!}{n!-(n-1)!}\)

Deve-se ter em mente a propriedade:
Para todo e qualquer n, com n pertencente ao conjunto dos números naturais*
\(n!=n.(n-1)!\)

Então, aplicando essa propriedade nos termos (n+1)! e n!

\(\frac{(n+1).n.(n-1)!-(n-1)!}{n.(n-1)!-(n-1)!}\)

\(\frac{(n^{2}+n).(n-1)!-(n-1)!}{n.(n-1)!-(n-1)!}\)

Em seguida, através da fatoração pelo caso do fator comum

\(\frac{(n-1)!.(n^{2}+n-1)}{(n-1)!.(n-1)}\)

Simplificando a expressão
\(\frac{n^{2}+n-1}{n-1}\)

[NiGoRi]

Me explica como você simplificou o denominador.

n(n-1)!-(n-1)!

para

(n-1)!.(n-1)


Obrigado.

[vestibulando123]

Me explica como você simplificou o denominador.

n(n-1)!-(n-1)!

para

(n-1)!.(n-1)


Obrigado.

Oi,

Através da fatoração pelo caso do fator comum

\(n.(n-1)!-(n-1)!\)

O fator comum dessa expressão é (n-1)!

Logo,

\((n-1)!.(n-1)\)

Exemplos de fatoração do caso do fator comum

\(4x^{3}+8x^{2}=4x^{2}.(x+2)\)

\(4x^{3}-8x^{2}+2x=2x.(2x^{2}-4x+1)\)

\(a.(x-y)-b.(x-y)=(x-y).(a-b)\)

Observando-se com clareza, percebe-se que o terceiro exemplo é o caso da sua dúvida. Veja bem:

\(a=n\)

\((x-y)=(n-1)!\)

\(b=1\)

Espero que tenha ficado nítido seu entendimento.

Abraço.

[NiGoRi]

Ok.

Entendido.

Devo considerar que existe um 1 na frente do segundo termo -(n-1)!.

Aí fica o n do primeiro menos 1, multiplicado pelos fatores comuns que é (n-1)!

Valeu.

Muito obrigado.