Questão de Combinações

[pedrohmc]

Numa turma há vinte alunos. O professor quer reuni-los em grupos de cinco para um
trabalho. O número de grupos está corretamente expresso no item:

a) \(20!/(5!)^4.4!\) ---> resposta certa

Queria saber como chegar nessa resposta

[danjr5]

Pedro,
associemos as letras do alfabeto a quantidade de alunos da turma, para facilitar o entendimento; então: \(\left \{ A, B, C,..., R, S, T \right \}\)

Tomemos o seguinte grupo como possibilidade: \(ABCDE\); note que o grupo \(BCDEA\), embora tenha os componentes dispostos em ordem diferente do grupo anterior, trata-se do mesmo grupo, ou seja, os mesmos alunos!! Neste caso, a ordem é importante, portanto, COMBINAÇÃO.

Segue,

\(C_{n,p} = \frac{n!}{(n - p)!p!}\)

\(C_{20,5} = \frac{20!}{(20 - 5)!5!}\)

\(C_{20,5} = \frac{20\cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15!}{15!5!}\)

\(C_{20,5} = \frac{20\cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}\)

\(C_{20,5} = 19 \cdot 3 \cdot 17 \cdot 16\)

\(\fbox{\fbox{C_{20,5} = 15504}}\)