Probabilidades - não sair elementos
08 ago 2013, 18:31
Boa tarde.
Tenho dúvida no seguinte exercício: "Num saco estão 10 bolas, sendo 3 azuis e 7 vermelhas. Extraem-se ao acaso, sucessivamente e sem reposição as 10 bolas. Determine a probabilidade de não sairem bolas azuis seguidas."
Ora comecei por determinar a probabilidade de sair as bolas azuis seguidas:
\(\frac{8\ast 3!*7!}{10!}\)
. Depois, pensei ir pelo acontecimento contrário: 1- P(azuis seguidas), no entanto, a resposta não é a indicada nas soluções.
Peço ajuda, se faz favor.
Obrigado!
Tenho dúvida no seguinte exercício: "Num saco estão 10 bolas, sendo 3 azuis e 7 vermelhas. Extraem-se ao acaso, sucessivamente e sem reposição as 10 bolas. Determine a probabilidade de não sairem bolas azuis seguidas."
Ora comecei por determinar a probabilidade de sair as bolas azuis seguidas:
\(\frac{8\ast 3!*7!}{10!}\)
. Depois, pensei ir pelo acontecimento contrário: 1- P(azuis seguidas), no entanto, a resposta não é a indicada nas soluções.
Peço ajuda, se faz favor.
Obrigado!
Re: Probabilidades - não sair elementos
16 ago 2013, 20:46
3/10 probabilidade de sair 1 bola azul.
de sair seguidas 3 bolas = 8*(3/10)³
de NÃO sair =1 - 8*(3/10)³
0,784
de sair seguidas 3 bolas = 8*(3/10)³
de NÃO sair =1 - 8*(3/10)³
0,784
Re: Probabilidades - não sair elementos [resolvida]
22 set 2013, 12:47
Olá emsbp
Bem o Emanuel está quase certo (na verdade estaria certo se as extracções fossem com reposição). Mas, no caso sem reposição, a probabilidade de saída de bola azul vai alterando-se a cada extracção porque no universo (saco) donde são extraídas as bolas, o n. de casos possíveis vai reduzindo a cada extracção, e além disso, o saco não tem um número infinito de bolas (caso em que poderiamos considerar extracções com reposição). Então, vem, para N=10 bolas, M=3 bolas azuis e N-M=7 bolas vermelhas:
P("não sairem bolas azuis seguidas")= 1-P("sairem bolas azuis seguidas")=1-(P("sairem bolas azuis seguidas à 1.ª extracção)+P("sairem bolas azuis seguidas à 2.ª extracção)+...+P("sairem bolas azuis seguidas à 8.ª extracção))= (*)
Vejam bem que a probabilidade de sairem as 3 bolas azuis seguidas à 1.ª extracção e seguindo-se as 7 bolas vermelhas seguidas é, (3/10*2/9*1/8*7/7*6/6*...*1/1) = 3/10*2/9*1/8.
Analogamente, a probabilidade de sairem k (>=2) bolas vermelhas seguidas e as 3 bolas azuis seguidas à k+1.ª extracção e seguindo-se as restantes bolas vermelhas seguidas é, (7/10*(7-k+1)/(10-k+1)*3/(10-k)*2/(10-k-1)*1/(10-k-2)*(10-k-3)/(10-k-3)*...*2/2*1/1= (simplificando) 3/10*2/9*1/8.
Então, a probabilidade pedida(*) = 1-8*(3/10*2/9*1/8)
Bom estudo,
Bem o Emanuel está quase certo (na verdade estaria certo se as extracções fossem com reposição). Mas, no caso sem reposição, a probabilidade de saída de bola azul vai alterando-se a cada extracção porque no universo (saco) donde são extraídas as bolas, o n. de casos possíveis vai reduzindo a cada extracção, e além disso, o saco não tem um número infinito de bolas (caso em que poderiamos considerar extracções com reposição). Então, vem, para N=10 bolas, M=3 bolas azuis e N-M=7 bolas vermelhas:
P("não sairem bolas azuis seguidas")= 1-P("sairem bolas azuis seguidas")=1-(P("sairem bolas azuis seguidas à 1.ª extracção)+P("sairem bolas azuis seguidas à 2.ª extracção)+...+P("sairem bolas azuis seguidas à 8.ª extracção))= (*)
Vejam bem que a probabilidade de sairem as 3 bolas azuis seguidas à 1.ª extracção e seguindo-se as 7 bolas vermelhas seguidas é, (3/10*2/9*1/8*7/7*6/6*...*1/1) = 3/10*2/9*1/8.
Analogamente, a probabilidade de sairem k (>=2) bolas vermelhas seguidas e as 3 bolas azuis seguidas à k+1.ª extracção e seguindo-se as restantes bolas vermelhas seguidas é, (7/10*(7-k+1)/(10-k+1)*3/(10-k)*2/(10-k-1)*1/(10-k-2)*(10-k-3)/(10-k-3)*...*2/2*1/1= (simplificando) 3/10*2/9*1/8.
Então, a probabilidade pedida(*) = 1-8*(3/10*2/9*1/8)
Bom estudo,