João P. Ferreira Escreveu:Eu confesso que tenho dificuldade nessas demonstrações formais de coisas tão banais
(não digo que não exija demonstração, pois lembro-me da primeira aula de Análise na faculdade o Prof. demorou uma hora para demonstrar que 1=1)
a) Se \(X \in A\cap B\), e o conjunto \(A\cap B\) é a interseção de \(A\) com \(B\), interseção que pela definição inclui sempre obrigatoriamente pelo menos parte (pode incluir todo) do conjunto \(A\) e parte do conjunto \(B\), então \(X \in A\) e \(X \in B\)
Olá João, obrigado pela ajuda eu fiz a demonstração do item b e gostaria que você desse uma opinião se faz sentido.
A função \(1_{A}\) é a função caracterisitica de A que recebe um elemento de um espaço amostral ômega\(\Omega\) e devolve 1 caso este elemento pertence a A e 0 caso contrário.
\(1_{A\cup B}=max\left \{ 1_{A} ,1_{B}\left. \right \}\)
Através da definição de Função caracteristica, analisa-se cada uma das funções separadamente com finalidade de verificar a igualdade das condições de existência.
Em \(1_{A\cup B}\)}, consideremos um elemento \(\omega\) \(\in \Omega\), a função será igual a 1 se \(\omega \in A\cup B\) e será igual a 0 se \(\omega \notin A\cup B\). Se \(\omega \in A\) e \(\omega \notin B\), 1A =1 e 1B = 0, logo \(1_{A\cup B}\)=1. Agora, se \(\omega \notin A\) e \(\omega \in B\) , 1A = 0 e 1B=1, logo \(1_{A\cup B}\)=1, portanto, \(1_{A\cup B}\) = 1, se e somente se, \(\omega \in A\) ou \(\omega \in B\).
Em max{1A,1B}, a função assume valores de 0 a 1 e o máximo será 1 se 1A = 1 ou 1B = 1, se 1A = 1 e 1B =0, temos max{1A, 1B} = 1 e, se, 1A=0 e 1B =0, temos max{1A, 1B} = 1, portanto, max {1a, 1b} =1 se, e somente, se \(\omega \in A\) ou \(\omega \in B\).
Portanto, pode-se concluir que \(1_{A\cup B}\) e max \(\left \{ 1_{A},1_{B} \right \}\) são equivalentes.
Assim, podemos verificar que 1 = 1!
Desde já agradeço!