Análise combintória, fórmula de inclusão-exclusão
26 mai 2012, 17:10
Olá a todos, gostaria de uma grande ajuda para resolver o problema:
"Quantos são os múltiplos dos números 2, 3 ou 5 compreendidos no intervalo de 1 até 1000? Dica: usar a fórmula de inclusão-exclusão."
"Quantos são os múltiplos dos números 2, 3 ou 5 compreendidos no intervalo de 1 até 1000? Dica: usar a fórmula de inclusão-exclusão."
Re: Analise combintória e probabilidade
27 mai 2012, 02:09
Boas
Seja \(A\) o conjunto dos múltiplos de \(2\) no intervalo \([1,1000]\)
Seja \(B\) o conjunto dos múltiplos de \(3\) no intervalo \([1,1000]\)
Seja \(C\) o conjunto dos múltiplos de \(5\) no intervalo \([1,1000]\)
Seja \(n(X)\) o número de elementos do conjunto \(X\)
Recorrendo então ao teorema que referiu para três conjuntos, temos então:
\(n(A\cup B \cup C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A\cap B)-n(A\cap C)-n(B\cap C)+n(A\cap B \cap C)\)
\(A\) são os múltiplos de 2 nesse interavalo, i.e. \(2, 4, 6, 8, 10, 12...998,1000\) então \(n(A)=\frac{1000}{2}=500\)
\(B\) são os múltiplos de 3, \(3,6,9,12,15...996,999\), 1000 não é múltiplo de 3, mas já o é 999, assim fica \(n(B)=\frac{999}{3}=333\)
Pelo mesmo raciocínio \(n(C)=\frac{1000}{5}=200\)
Agora, quantos são múltiplos de \(2\) e ao mesmo tempo de \(5\)?
Aqueles que forem múltiplos de \(2\times 5=10\)
Assim
\(A\cap C=\left \{ 10,20,30,40,...,990,1000 \right \}\\ n(A\cap C)=\frac{1000}{10}=100\)
Pelo mesmo raciocínio
\(2 \times 3=6\\ A\cap B=\left \{ 6,12,18,24,...,990,996 \right \}\\ n(A\cap B)=\frac{996}{6}=166\\ \\ \\ 3 \times 5=15\\ B\cap C=\left \{ 15,30,45,60,...,975,990 \right \}\\ n(B\cap C)=\frac{990}{15}=66\\\)
Basta por último ver aqueles que são em simultâneo múltiplos de 2,3 e 5
\(2\times 3 \times 5=30 \\ A \cap B \cap C=\left \{30,60,90,...,960,990 \right \}\\ n(A \cap B \cap C)=\frac{990}{30}=33\)
Somando tudo recorrendo à fórmula inicial
\(n(A\cup B \cup C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A\cap B)-n(A\cap C)-n(B\cap C)+n(A\cap B \cap C)\)
\(n(A\cup B \cup C)=500+333+200-100-166-66+33=1033-332+33=734\)
Saudações
Seja \(A\) o conjunto dos múltiplos de \(2\) no intervalo \([1,1000]\)
Seja \(B\) o conjunto dos múltiplos de \(3\) no intervalo \([1,1000]\)
Seja \(C\) o conjunto dos múltiplos de \(5\) no intervalo \([1,1000]\)
Seja \(n(X)\) o número de elementos do conjunto \(X\)
Recorrendo então ao teorema que referiu para três conjuntos, temos então:
\(n(A\cup B \cup C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A\cap B)-n(A\cap C)-n(B\cap C)+n(A\cap B \cap C)\)
\(A\) são os múltiplos de 2 nesse interavalo, i.e. \(2, 4, 6, 8, 10, 12...998,1000\) então \(n(A)=\frac{1000}{2}=500\)
\(B\) são os múltiplos de 3, \(3,6,9,12,15...996,999\), 1000 não é múltiplo de 3, mas já o é 999, assim fica \(n(B)=\frac{999}{3}=333\)
Pelo mesmo raciocínio \(n(C)=\frac{1000}{5}=200\)
Agora, quantos são múltiplos de \(2\) e ao mesmo tempo de \(5\)?
Aqueles que forem múltiplos de \(2\times 5=10\)
Assim
\(A\cap C=\left \{ 10,20,30,40,...,990,1000 \right \}\\ n(A\cap C)=\frac{1000}{10}=100\)
Pelo mesmo raciocínio
\(2 \times 3=6\\ A\cap B=\left \{ 6,12,18,24,...,990,996 \right \}\\ n(A\cap B)=\frac{996}{6}=166\\ \\ \\ 3 \times 5=15\\ B\cap C=\left \{ 15,30,45,60,...,975,990 \right \}\\ n(B\cap C)=\frac{990}{15}=66\\\)
Basta por último ver aqueles que são em simultâneo múltiplos de 2,3 e 5
\(2\times 3 \times 5=30 \\ A \cap B \cap C=\left \{30,60,90,...,960,990 \right \}\\ n(A \cap B \cap C)=\frac{990}{30}=33\)
Somando tudo recorrendo à fórmula inicial
\(n(A\cup B \cup C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A\cap B)-n(A\cap C)-n(B\cap C)+n(A\cap B \cap C)\)
\(n(A\cup B \cup C)=500+333+200-100-166-66+33=1033-332+33=734\)
Saudações
Re: Análise combintória, fórmula de inclusão-exclusão
27 mai 2012, 21:02
Nossa, João, muito obrigado!
Valeu mesmo!
Valeu mesmo!
Re: Análise combintória, fórmula de inclusão-exclusão
27 mai 2012, 23:00
Sempre às ordens meu caro...
Estamos aqui para ajudar
Saudações
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Saudações