Probabilidade condicionada

[Mónica]

Boa noite,

Agradecia ajuda na resolução deste exercício uma vez que não tenho acesso á resposta nem encontro nenhum exercício parecido.

Suponha que existem duas caixas com bolas brancas e pretas.
A caixa X tem metade das bolas de cada cor;
A caixa Y tem um quarto de bolas brancas e três quartos de brancas;
Suponha que se atira um dado para escolher a caixa de onde se retira uma bola. Se o dado indicar 1 ou 2 retira-se da caixa X; se o dado der 3, 4, 5 ou 6 retira-se a bola da caixa Y.

a) Calcule a probabillidade de sair bola preta;
b) Sabendo que saiu uma bola preta, calcule a probabilidade de se ter tirado a bola da caixa X.

Obrigado

[emsbp]

Bom dia Mónica.
Penso que ao digitares a mensagem, enganaste-te no nº de bolas da caixa Y. Tens lá: A caixa Y tem um quarto de bolas brancas e três quartos de brancas;. Qual das frações corresponde às bolas pretas: um quarto ou três quartos.?
Obrigado!

[emsbp]

Bom dia, Mónica.
Para tentar ajudar-te, suponhamos que a fração das bolas pretas na caixa Y é três quartos (depois confirmas).
Eu faria do seguinte modo:

a) Como as frações correspondem às probabilidades de cada bola em cada caixa, vamos ter:
- P(ser bola preta na caixa X) = 1/2; P(ser bola branca na caixa X)= 1/2.
- P(ser bola preta na caixa Y)=3/4; P(ser bola branca na caixa Y)=1/4.
No entanto, temos de ter em conta que o lançamento do dado é que determina em qual das caixas é que vamos retirar a bola. Assim, P(ser caixa X)=2/6 e P(ser caixa Y)=4/6.
Como apenas queremos a probabilidade de sair bola preta (seja da caixa X ou da caixa Y), teremos de somar P(sair bola preta da caixa X) e P(sair bola preta da caixa Y. Ora, P(sair bola preta da caixa X)= (2/6)*(1/2) = 1/6 e P(sair bola preta da caixa Y)=(4/6)*(3/4)= 3/6 . Agora é só somar.

b) Aqui é a aplicação da fórmula da condicionada.
Seja A:« sair bola preta» e B:« tirar da caixa X». Então queremos determinar P(B|A)=P(B\(\bigcap\) A)/P(A).
P(A\(\cap\)B)=1/6 (já determinada anteriormente) e P(A)=2/6 (também determinada anteriormente). Agora é só dividir, ficando com 1/2.
Espero ter ajudado!
Obrigado.

[Mónica]

Muito obrigada pela ajuda. Foi muito esclarecedora.