Analise Combinatória

[flor_de_lotus1]

Poderiam me ajudar nesse exercício?

Considere o número natural
\(m = p_{1}^{\alpha 1} {x} p_{2}^{\alpha 2} {x} p_{3}^{\alpha 3}...p_{n}^{\alpha n}\),
sendo \(p_{i}, 1\leq i \leq n\) seus fatores primos. Utilizando o PM, demonstre que o número de divisores positivos de m é:
\((\alpha_{1 + 1}). (\alpha_{2 + 1}).(\alpha_{3 + 1})... (\alpha_{n + 1})\)

Gente, obrigada desde já!

[Rui Carpentier]

"Utilizando o PM" - O que é o PM?

Any way... Repare que um número \(d\) é divisor de \(m=p_1^{\alpha_1}\cdot p_2^{\alpha_2}\cdots p_n^{\alpha_n}\) se e só se é da forma \(d=p_1^{\beta_1}\cdot p_2^{\beta_2}\cdots p_n^{\beta_n}\), com \(0\leq \beta_i \leq \alpha_i\) para todo o \(i=1,2,\dots ,n\). Assim o número de divisores de \(n\) é igual ao número de elementos do conjunto:

\(\{(\beta_1,\beta_2,\dots ,\beta_n):0\leq \beta_i \leq \alpha_i \quad,\quad i=1,2,\dots ,n \}=A_1\times A_2\times \cdots \times A_n\)

onde \(A_i=\{0,1,2,\dots,\alpha_i\}\)

Logo o número de divisores de \(n\) é \(|A_1\times A_2\times \cdots \times A_n|=|A_1|\times |A_2|\times \cdots \times |A_n|=(\alpha_1 +1)(\alpha_2 +1)\cdots (\alpha_n +1)\).

[flor_de_lotus1]

"Utilizando o PM" - O que é o PM?

Any way... Repare que um número \(d\) é divisor de \(m=p_1^{\alpha_1}\cdot p_2^{\alpha_2}\cdots p_n^{\alpha_n}\) se e só se é da forma \(d=p_1^{\beta_1}\cdot p_2^{\beta_2}\cdots p_n^{\beta_n}\), com \(0\leq \beta_i \leq \alpha_i\) para todo o \(i=1,2,\dots ,n\). Assim o número de divisores de \(n\) é igual ao número de elementos do conjunto:

\(\{(\beta_1,\beta_2,\dots ,\beta_n):0\leq \beta_i \leq \alpha_i \quad,\quad i=1,2,\dots ,n \}=A_1\times A_2\times \cdots \times A_n\)

onde \(A_i=\{0,1,2,\dots,\alpha_i\}\)

Logo o número de divisores de \(n\) é \(|A_1\times A_2\times \cdots \times A_n|=|A_1|\times |A_2|\times \cdots \times |A_n|=(\alpha_1 +1)(\alpha_2 +1)\cdots (\alpha_n +1)\).

Obrigada pela ajuda, realmente deu pra entender agora!