Prova por indução matemática ...

[Jow]

Boa tarde

Prove por indução que: 7 + 13 + 19 + 25 + ... + (6n +1) = n(3n +4), ∀n∈ℕ, n 1.

[Mattioli]

Para provar por indução, a igualdade a seguir (A) tem que ser verdadeira:
\(7 + 13 + 19 + 25 + ... + (6n+1) + (6(n+1)+1) = (n+1)*(3*(n+1)+4)\)

1º Passo: Testar se a equação vale pra 1
7 = 1(3*1 + 4)
7 = 7
OK!

2º Passo: Testar se a equação vale para (n+1)
Suponha que \(7 + 13 + 19 + 25 + ... + (6n +1) = n(3n +4)\)
Substituindo isso na primeira equação (A), tem-se:
\(n(3n + 4) + (6(n+1)+1) = (n+1)*(3*(n+1)+4)\)
Aplicando distributiva nos parênteses:
\(3n^2 + 4n + 6n + 6 + 1 = (n+1)*(3n+3+4)\)
\(3n^2 + 10n + 7 = 3n^2 + 3n + 4n + 3n + 3 + 4\)
\(3n^2 + 10n + 7 = 3n^2 + 10n + 7\)

Portanto, por a igualdade ser verdadeira, 7 + 13 + 19 + 25 + ... + (6n +1) = n(3n +4), ∀n∈ℕ, n 1.