Permutações de caminhos no sistema cartesiano
02 nov 2014, 22:07
Quantos são os caminhos da origem (0,0) até o ponto (5,5), com deslocamento unitários e paralelos aos eixos, apenas nos sentidos positivos de x e y, que não passam pelo ponto (2,2)?
Re: Permutações de caminhos no sistema cartesiano
06 nov 2014, 02:40
Para saber todas aquelas que não passam podemos calcular o TOTAL e diminuir daquelas que passam pelo ponto dois.
Primeiro calcular o total. Se você desenhar o plano cartesiano, verá que obrigatoriamente devera se percorrer um caminho de 5 unidades da horizontal e 5 unidades na vertical, ou seja, as combinações de caminho seriam HHHVVHVHVV OU VVVVVHHHHH. Logo o total é calculado como uma permutação com repetição.
Total (T): \(P_{10}^{5,5}\)=252
Agora vamos calcular todos os caminho que passam pelo ponto (2,2). Esse ponto divide o trajeto em dois momentos. Um onde deverão ser percorridos 2 unidades na horizontal e 2 unidades na vertical, ou seja, \(P_{4}^{2,2}\). E o segundo momento, para completar o trajeto até o ponto (5,5) que deverá percorrer 3 unidades na horizontal e 3 unidades na vertical, ou seja, \(P_{6}^{3,3}\).
Todos os caminhos q passam por (2,2): \(P_{4}^{2,2}\) . \(P_{6}^{3,3}\) = 6 . 20 = 120
Agora o resultado final: T - Todos os caminho q passam por (2,2)
251 - 120 = 132!!
Caso não seja esse o resultado, desculpa. Posso ter errado algum cálculo. Mas essa é alinha de raciocínio para a resolução
Boa sorte
Primeiro calcular o total. Se você desenhar o plano cartesiano, verá que obrigatoriamente devera se percorrer um caminho de 5 unidades da horizontal e 5 unidades na vertical, ou seja, as combinações de caminho seriam HHHVVHVHVV OU VVVVVHHHHH. Logo o total é calculado como uma permutação com repetição.
Total (T): \(P_{10}^{5,5}\)=252
Agora vamos calcular todos os caminho que passam pelo ponto (2,2). Esse ponto divide o trajeto em dois momentos. Um onde deverão ser percorridos 2 unidades na horizontal e 2 unidades na vertical, ou seja, \(P_{4}^{2,2}\). E o segundo momento, para completar o trajeto até o ponto (5,5) que deverá percorrer 3 unidades na horizontal e 3 unidades na vertical, ou seja, \(P_{6}^{3,3}\).
Todos os caminhos q passam por (2,2): \(P_{4}^{2,2}\) . \(P_{6}^{3,3}\) = 6 . 20 = 120
Agora o resultado final: T - Todos os caminho q passam por (2,2)
251 - 120 = 132!!
Caso não seja esse o resultado, desculpa. Posso ter errado algum cálculo. Mas essa é alinha de raciocínio para a resolução
Boa sorte