Análise Combinatória com três agrupados

[NetoQui]

No sistema decimal, quantos números de cinco algarismos (sem repetição) podemos escrever, de modo que os algarismos 0 (zero), 2 (dois) e 4 (quatro) apareçam agrupados?

Obs: Considere somente números de 5 algarismos em que o primeiro algarismo é diferente de zero

R:672

[TelmaG]

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Devemos ter em atenção os três primeiros lugares a ser preenchidos uma vez que o zero não poderá ser o primeiro algarismo. Assim existem 4 formas de criar sequências diferentes com o zero, o dois e o quatro sempre agrupados como nos é exigido.
Para ocupar as duas restantes casas fazemos arranjos (sem repetição), com os sete algarismos restantes (1,3,5,6,7,8,9).

Depois para fazer outra sequência colocamos o zero, o dois e o quatro nas três casas centrais (aqui o zero já não sofre restrições).
Por último, colocamos estes três elementos nas últimas três casas.
\(4\times ^{7}A\, _{2}+\, ^{7}A\, _{2}\times 3!+\, ^{7}A\, _{2}\times 3!=672\)