Prova por recurso ao método de indução matemática

[EREGON]

Olá,

gostaria de ter a vossa ajuda para resolver este problema:

Considere três números naturais a, b, c ∈ {1, 2, . . .} tais que a − b > 0 e c é um divisor de
a − b.

Por recurso ao método de indução matemática, mostre que c é um divisor de (a^n)-(b^n), n>=1

Obrigado

Paulo

[Fraol]

Olá,

O caso n=1 é trivial, ou seja: \(a^1-b^1=a-b=c \cdot r, r \in N\)

Vamos assumir que vale para \(n=k\), isto é: \(a^k - b^k = c \cdot s, s \in N\).

Resta mostrar que vale para \(n=k+1\), isto é: \(a^{k+1} - b^{k+1} = c \cdot t, t \in N\).

Vamos fazer alguns algebrismos:

\(a^{k+1} - b^{k+1} = aa^{k} - bb^{k}\)

\(aa^{k} - bb^{k} = (a-b)a^k+b(a^k-b^k)\) (fatorando em termos de expressões conhecidas no problema)

\((a-b)a^k+b(a^k-b^k) = c \cdot r \cdot a^k+b \cdot c \cdot s\)

Agora é por \(c\) em evidência e chamar o resto de \(t\):

\(c \cdot r \cdot a^k+b \cdot c \cdot s = c \cdot ( r \cdot a^k+b \cdot s) = c \cdot t\)

e dessa forma fica provado pelo PIF que ...