Prova de Probabilidade de k cartas

[EREGON]

Olá,

gostaria de obter a vossa ajuda para resolver este exercício.

Uma secretária ineficiente coloca ao acaso n cartas personalizadas em n envelopes previamente endereçados.

- Mostrar que a probabilidade de a secretária colocar exactamente k cartas , 0<= k <= n, nos envelopes correctos, é:

Obrigado

Anexos

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[Rui Carpentier]

Pôr exactamente k cartas nos envelopes corretos corresponde a escolher k cartas em n que irão ser postas nos envelopes corretos e um desarranjo (i.e. uma permutação sem parcelas fixas) para as restantes n-k cartas. O número de escolhas de k cartas em n é dado por \({n \choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\) (combinações de n a k) enquanto o número de n-k desarranjos é dado* por \(!(n-k)=(n-k)!\sum_{m=0}^{n-k}\frac{(-1)^m}{m!}\). Assim sendo, existem \({n \choose k}\times !(n-k)=\frac{n!}{k!}\times \sum_{m=0}^{n-k}\frac{(-1)^m}{m!}\) num universo de \(n!\) maneiras de colocar n cartas em n envelopes. Logo obtemos a probabilidade \(p=\frac{\frac{n!}{k!}\times \sum_{m=0}^{n-k}\frac{(-1)^m}{m!}}{n!}=\frac{1}{k!}\times \sum_{m=0}^{n-k}\frac{(-1)^m}{m!}\).


* trata-se de um resultado que, não sendo trivial, é conhecido (veja a página do wikipedia sobre o assunto, por exemplo).