De quantas maneiras diferentes se podem numerar 7 faces

[TelmaG]

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Admita que a face [ABCD] do octaedro está numerada com o número 1, como se observa na figura em cima.
Pretende-se numerar as restantes faces do octaedro com os números de 2 a 8 (um número diferente em cada face).
De quantas maneiras diferentes se podem numerar as restantes sete faces, de modo que, depois de o octaedro ter todas as faces numeradas, exatamente três das faces concorrentes no vértice A fiquem numeradas com números ímpares?

Resolução

Uma vez que uma das faces concorrentes em A ("faces de cima") tem de ser numerada com um número par e as restantes com números ímpares, devemos selecionar um dos 4 números pares disponíveis, e escolher uma das 3 faces disponíveis para o colocar, o que pode ser feito de 4x3 formas possíveis.
Ainda para as restantes duas faces de cima devemos considerar as sequências de 2 números que podemos obter a partir dos 3 números ímpares ainda disponíveis.
Depois devemos considerar 4! formas diferentes de organizar os restantes 4 números nas 4 faces de baixo.

A minha dúvida é na parte que diz

devemos selecionar um dos 4 números pares disponíveis, e escolher uma das 3 faces disponíveis para o colocar

Porque temos de escolher uma das 3 faces "de cima" para colocar o número par antes de lá colocarmos os números ímpares?

[GrangerObliviate]

Olá Telma!

Acho que é apenas uma linha de raciocínio. Seguindo a resolução que apresentaste, temos estão a contagem

4C1 x 3C1 x 3A2 x 4! = 1728

Ora, se começarmos pelos ímpares vamos constatar que o resultado é o mesmo:

Escolher dois ímpares: 3C2
Escolher dois lugares para os ímpares: 3C2 x 2!
Escolher um par para o lugar que sobra: 4C1
Trocar os números que restam: 4!

3C2 x 3C2 x 2! x 4C1 x 4! = 1728


E ainda um terceiro raciocínio

Escolher dois ímpares: 3C2
Escolher um par: 4C1
Colocar os números nos 3 lugares: 3!
Trocar os números que restam: 4!

3C2 x 4C1 x 3! x 4! = 1728

Portanto, tudo depende da linha de raciocínio que fazes. Eu penso que na resolução eles vão primeiro pelo par por ser mais seguro fazer a contagem direita. Vou dar-te o exemplo de uma contagem errada.

Organizar dois ímpares em dois lugares 3A2
Escolher o par para o lugar que resta: 4C1
Trocar os restantes: 4!

3A2 x 4C1 x 4! = 576 ERRADO

Porquê? Porque esquecemo-nos das possibilidades de troca entre o par e os dois ímpares!
O que temos de ter em atenção é fazer a contagem direita contabilizando todas as possibilidade, mas há sempre várias maneiras de abordar a questão.

Espero que tenhas ficado esclarecida

[TelmaG]

Boa tarde, GrangerObliviate, muitíssimo obrigada pelo esclarecimento!
Será que me podias explicar novamente o primeiro exemplo?

Escolher dois ímpares: 3C2
Escolher dois lugares para os ímpares: 3C2 x 2!
Escolher um par para o lugar que sobra: 4C1
Trocar os números que restam: 4!

3C2 x 3C2 x 2! x 4C1 x 4! = 1728

4C1, o número par vai para o lugar que sobra sem trocar com os números ímpares?

[GrangerObliviate]

Olá Telma!

De nada, quanto ao primeiro exemplo o que estás a fazer é: escolher dois ímpares e depois escolhes logo os dois lugares para os ímpares, que vão trocar entre si (3C2 x 3C2 x 2!). Por isso, ao escolheres agora o número par este já só pode ocupar um lugar, é como se os outros dois já tivessem sido escolhidos para os ímpares. A contagem que estás a dizer agora é a terceira que eu mostrei: selecionar dois ímpares, selecionar 1 par, e depois sim trocar os lugares entre eles.

Bom estudo!

[TelmaG]

Desculpa a minha insistência, mas cá estou eu de novo.
O que significava se eu colocasse apenas 3C2 x 2! em vez de 3C2 x 3C2 x 2! ?
Obrigada novamente pela explicação e pela simpatia

[GrangerObliviate]

Ora essa, o importante é ficares esclarecida

Pela razão que eu disse na contagem errada. Se fizeres apenas 3C2 x 2! estás apenas a escolher dois lugares e a permutá-los (falta escolher os números) ou estás a escolher dois números e a trocá-los (falta escolher os lugares). Nesta contagem é importante escolher tudo: escolher números, escolher lugares, e depois fazer as devidas permutações... Por isso é que eles começam por colocar o número par, para evitar esse esquecimento a fazer a contagem ao contrário

Se tiveres mais alguma dúvida não hesites em perguntar

[TelmaG]

Para finalizar gostava de debater contigo o raciocínio inicial, o tal usado na proposta de resolução que eu apresentei: 4C1 - escolha do número par, 3C1 - escolha do lugar do número par, 3A2 - permutação dos dois números ímpares . Interpretei bem as expressões ?

[GrangerObliviate]

Eu diria antes 3A2 = escolha dos dois números ímpares, interessando a ordem, para os dois lugares que sobram.

De resto, está correto

[TelmaG]

Agradeço imenso a disponibilidade Dúvidas sanadas!

[TelmaG]

Bom dia, desculpa pelo incómodo, mas escapou-me um pormenor que gostaria, se possível, de ver esclarecido.

Vou dar-te o exemplo de uma contagem errada.

Organizar dois ímpares em dois lugares 3A2
Escolher o par para o lugar que resta: 4C1
Trocar os restantes: 4!

3A2 x 4C1 x 4! = 576 ERRADO

Porquê? Porque esquecemo-nos das possibilidades de troca entre o par e os dois ímpares!

Como corrigir esta situação?