Dúvidas com gelados numa gelataria

[matagolfinhos]

Bom dia,

Deixo aqui dois exercícios aos quais não conseguir chegar à solução. Espero que me ajudem.

Numa gelataria servem-se gelados. Estão disponíveis seis sabores diferentes.
O Dinis vai pedir um gelado com três bolas.
Quantos gelados diferentes pode pedir se:
Pelo menos uma bola é diferente das outras duas?

Sei que é por combinações, mas não estou a conseguir.
A solução é 50.
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Sete amigos vão ao cinema e sentam-se na mesma fila, uns ao lado dos outros. Entre os sete amigos há 3 irmãos.
De quantas formas diferentes se podem sentar os sete amigos de modo que os irmãos não fiquem juntos?

[Rui Carpentier]

Numa gelataria servem-se gelados. Estão disponíveis seis sabores diferentes.
O Dinis vai pedir um gelado com três bolas.
Quantos gelados diferentes pode pedir se:
Pelo menos uma bola é diferente das outras duas?

O conjunto dos gelados divide-se em dois: os gelados com três sabores diferentes que são em número de \({6\choose 3}=20\); e os gelados com duas bolas do mesmo sabor e outro de sabor distinto que são em número de\(6\times 5=30\). Logo no final há 60 tipos de gelado.

[Rui Carpentier]

Sete amigos vão ao cinema e sentam-se na mesma fila, uns ao lado dos outros. Entre os sete amigos há 3 irmãos.
De quantas formas diferentes se podem sentar os sete amigos de modo que os irmãos não fiquem juntos?

Não ficam os três juntos? Ou não ficam sequer dois deles lado a lado?

Se for o primeiro caso há cinco configurações "cegas"* proibidas: IIINNNN, NIIINNN, NNIIINN, NNNIIIN, NNNNIII cada uma das quais com \(3!\times 4!=144\) configurações específicas. Como ao todo existem \(7!\) no total haverá \(7!-5\times 144=5040-720=4320\) formas diferentes de os sentar.

* Estou a chamar configuração cega a configuração onde está apenas definida o tipo de pessoa que senta no lugar, se irmão (I) ou não irmão (N).

Se for o segundo caso, temos então dez configurações "cegas": INININN, ININNIN, ININNNI, INNININ, INNINNI, INNNINI, NINININ, NININNI, NINNINI, NNININI. Logo há no total \(10\times 144=1440\) formas diferentes de os sentar.