Operações com fatoriais - Algumas Dúvidas

[serteixeira]

Tenho uma dúvida neste exemplo que me apareceu num livro de exercícios:

Determine o valor de n que verifica a condição ^{n+1}A{_2}=240

Segundo a resolução:

^{n+1}A{_2}^{}=240 <=> frac{(n+1)!}{(n+1-2)!}=240 <=> frac{(n+1)n(n-1)!}{(n-1)!}=240
<=> n²+n=240 <=> n²+n-240=0 <=> n=15 (n≥1)

A minha dúvida surge como é que é calculado o numero 15. Alguém me podia simplificar melhor a equação e explicar-me como se chegou a este resultado?

Outra coisa, na seguinte simplificação:
frac{5x11x10x9!-10x9!}{9!} = frac{9!(5x11x10-10}{9!}

Ao por o 9! em evidencia, não se devia deixar um 1 dentro dos parêntesis? Porque é que desaparece um 9 fatorial?

Obrigado,

Cumprimentos,

[serteixeira]

Peço desculpas pela formatação, mas não estou a conseguir editar a mensagem de cima, aqui fica:

Determine o valor de n que verifica a condição \(^{n+1}A{_2}=240\)

Segundo a resolução:

\(^{n+1}A{_2}=240 \equiv \frac{(n+1)!}{(n+1-2)!}=240\equiv \frac{(n+1)n(n-1)!}{(n-1)!}=240\equiv n^2+n=240\equiv n^2+n-240=0\equiv n=15 (n\geq 1)\)


A minha dúvida surge como é que é calculado o numero 15. Alguém me podia simplificar melhor a equação e explicar-me como se chegou a este resultado?

Outra coisa, na seguinte simplificação:
\(\frac{5.11.10.9!-10.9!}{9!}=\frac{9!(5.11.10-10)}{9!}\)


Ao por o 9! em evidencia, não se devia deixar um 1 dentro dos parêntesis? Porque é que desaparece um 9 fatorial?

[serteixeira]

A minha primeira dúvida já percebi que é com a formula resolvente das equações de 2º grau. Se alguém me pudesse ajudar na minha segunda dúvida agradecia.

Cumprimentos,