Resolução de Equação com Factorial [resolvida]
28 Oct 2015, 18:43
Olá a todos,
Estou a resolver esta equação:
12(x-1)! + 5x! = (x+1)!
A dado momento da resolução esta expressão (x+1)! transforma-se em (x+1)x(x-1)!
Esta parte não estou a perceber! Algum me ajuda?
Onde posso aprender mais sobre as regras do factorial? Existe algum livro? Onde posso aprender mais?
Obrigado?
Estou a resolver esta equação:
12(x-1)! + 5x! = (x+1)!
A dado momento da resolução esta expressão (x+1)! transforma-se em (x+1)x(x-1)!
Esta parte não estou a perceber! Algum me ajuda?
Onde posso aprender mais sobre as regras do factorial? Existe algum livro? Onde posso aprender mais?
Obrigado?
Re: Resolução de Equação com Factorial
28 Oct 2015, 22:27
Olá Soprano
A função factorial é normalmente definida por: \(n!=\coprod_{j=1}^{n}j\)
Por exemplo, 4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24
Esta definição implica: 0! = 1 para que seja possível a propriedade, para n=0 :
(n+1)! = n! x (n+1)
Quanto à equação, deve reduzir todos os factoriais presentes a um comum, sendo este o menor dos factoriais. Então, atendendo a esta propriedade:
12*(x-1)! + 5*x! = (x+1)! <=>
12*(x-1)! + 5*x*(x-1)! = (x+1)*x*(x-1)! <=>
12*(x-1)! + 5*x*(x-1)! - (x+1)*x*(x-1)! = 0 <=>
(x-1)!*(12 + 5*x - (x+1)*x) = 0 <=> Pela Lei do Anulamento do Produto (LAP)
(x-1)! = 0 ou (12 + 5*x - (x+1)*x) = 0 <=>
Falso ou -x^2 + 4*x + 12 = 0 <=>
x=-2 (Falso, pois x deve ser > 1) ou x=6
Pode verificar-se que: 12 (x-1)! + 5 x! = 12 (5!) + 5 (6!) = 5040 e que (x+1)! = 5040
A função factorial é normalmente definida por: \(n!=\coprod_{j=1}^{n}j\)
Por exemplo, 4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24
Esta definição implica: 0! = 1 para que seja possível a propriedade, para n=0 :
(n+1)! = n! x (n+1)
Quanto à equação, deve reduzir todos os factoriais presentes a um comum, sendo este o menor dos factoriais. Então, atendendo a esta propriedade:
12*(x-1)! + 5*x! = (x+1)! <=>
12*(x-1)! + 5*x*(x-1)! = (x+1)*x*(x-1)! <=>
12*(x-1)! + 5*x*(x-1)! - (x+1)*x*(x-1)! = 0 <=>
(x-1)!*(12 + 5*x - (x+1)*x) = 0 <=> Pela Lei do Anulamento do Produto (LAP)
(x-1)! = 0 ou (12 + 5*x - (x+1)*x) = 0 <=>
Falso ou -x^2 + 4*x + 12 = 0 <=>
x=-2 (Falso, pois x deve ser > 1) ou x=6
Pode verificar-se que: 12 (x-1)! + 5 x! = 12 (5!) + 5 (6!) = 5040 e que (x+1)! = 5040
Re: Resolução de Equação com Factorial
29 Oct 2015, 01:53
Obrigado pela resposta.
Ok, então (n+1)! é igual a n! x (n+1) (onde x é o sinal da multiplicação, certo?)
Mas como (x+1)! passa para (x+1)x(x-1)! (aqui o sinal de x não é de multiplicação). De onde vem o (x-1)?
Acho que não estou a perceber este passo porque me falta a noção total dos fatoriais. Será possível passarem-me documentação para aprender mais? Por exemplo, a formulação que apresentou, da função fatorial, eu não conhecia.
Obrigado
Ok, então (n+1)! é igual a n! x (n+1) (onde x é o sinal da multiplicação, certo?)
Mas como (x+1)! passa para (x+1)x(x-1)! (aqui o sinal de x não é de multiplicação). De onde vem o (x-1)?
Acho que não estou a perceber este passo porque me falta a noção total dos fatoriais. Será possível passarem-me documentação para aprender mais? Por exemplo, a formulação que apresentou, da função fatorial, eu não conhecia.
Obrigado
Re: Resolução de Equação com Factorial
29 Oct 2015, 02:00
Ok, acho que já percebi. Ou pesquisar descobri que n! é igual a n.(n-1)!. Portanto, tento eu (x+1)! e isto sendo igual a n! x (n+1) (aquele sinal de x é o que?) e n! sendo n.(n-1)! isto tudo fica:
Passo1: (x+1)!
Passo2: n! x (n+1)
Passo3: n.(n-1)! x (n+1)
Mas como daqui passo para (x+1)x(x-1)?
Obrigado
Passo1: (x+1)!
Passo2: n! x (n+1)
Passo3: n.(n-1)! x (n+1)
Mas como daqui passo para (x+1)x(x-1)?
Obrigado
Re: Resolução de Equação com Factorial
29 Oct 2015, 02:49
Julgo que a confusão está em que x é a multiplicação (e não xis). Vamos usar como sinal de multiplicação *
A definição de factorial apresenta n! mas no problema deves substituir n! por x!
Então, por outro lado, podes escrever
(x+1)! = (x+1) * x! = (x+1) * x * (x-1)!
e portanto,
12 (x-1)! + 5 x! = (x+1)!
12 (x-1)! + 5 x * (x-1)! = (x+1) * x * (x-1)!
...
A definição de factorial apresenta n! mas no problema deves substituir n! por x!
Então, por outro lado, podes escrever
(x+1)! = (x+1) * x! = (x+1) * x * (x-1)!
e portanto,
12 (x-1)! + 5 x! = (x+1)!
12 (x-1)! + 5 x * (x-1)! = (x+1) * x * (x-1)!
...
Re: Resolução de Equação com Factorial
29 Oct 2015, 11:24
Percebi 
Aplico duas regras:
A primeira é que (x+1)! é igual a (x+1) * x!
A segunda é que x! é igual a x * (x-1)!
Portanto (x+1)! passa por (x+1) * x! que como ainda tem um fatorial temos que o substituir por x * (x-1)! -> Valor final de (x+1) * x * (x-1)!
Quais são as regras de todos os fatoriais? Não percebo a razão de (x+1)! passar para (x+1)*x!
Não percebo o porque de (x-1)! ser igual a zero!
Obrigado
Aplico duas regras:
A primeira é que (x+1)! é igual a (x+1) * x!
A segunda é que x! é igual a x * (x-1)!
Portanto (x+1)! passa por (x+1) * x! que como ainda tem um fatorial temos que o substituir por x * (x-1)! -> Valor final de (x+1) * x * (x-1)!
Quais são as regras de todos os fatoriais? Não percebo a razão de (x+1)! passar para (x+1)*x!
Não percebo o porque de (x-1)! ser igual a zero!
Obrigado
Re: Resolução de Equação com Factorial
29 Oct 2015, 12:58
As propriedades da função são muitas e algo complicadas, pelo que em matemática não superior o seu uso é muito pontual (cálculo combinatório, teoria dos números, e probabilidades). Procure apenas as propriedades mais simples, são essas que à partida lhe importarão.
Repare que na resolução a equação, no terceiro passo, há uma quantidade que muda de membro. Além disso, no quinto passo, é usada a LAP, porque tem-se nesse momento um produto que se iguala a zero; logo uma das hipóteses seria que (x-1)! = 0 , mas isto é impossível, porque um número factorial (composto por inteiros positivos) é um produto de números inteiros positivos consecutivos, que nunca se anula. Pelo que essa hipótese é falsa.
Repare que na resolução a equação, no terceiro passo, há uma quantidade que muda de membro. Além disso, no quinto passo, é usada a LAP, porque tem-se nesse momento um produto que se iguala a zero; logo uma das hipóteses seria que (x-1)! = 0 , mas isto é impossível, porque um número factorial (composto por inteiros positivos) é um produto de números inteiros positivos consecutivos, que nunca se anula. Pelo que essa hipótese é falsa.
Re: Resolução de Equação com Factorial
29 Oct 2015, 13:06
Percebi, mas como segure que eu procure? Devo procurar por "propriedades do fatorial" ou "propriedade da função"? Agora fiquei confuso.
O que é o LAP?
Mas eu não entendo o porque de fazermos logo (x-1)! ser igual a zero. Isto não dava para trabalhar mais? Percebi que se achou um valor em comum, no passo anterior, para que se pudesse "limpar" a equação. Mas não percebo o porque de igualarmos logo a zero.
Quer dizer, eu percebo o porque de não perceber! É porque me está a faltar bases, mas onde eu posso estudar mais sobre isso? Sugerem artigos, sites, vídeos ou livros?
Obrigado
O que é o LAP?
Mas eu não entendo o porque de fazermos logo (x-1)! ser igual a zero. Isto não dava para trabalhar mais? Percebi que se achou um valor em comum, no passo anterior, para que se pudesse "limpar" a equação. Mas não percebo o porque de igualarmos logo a zero.
Quer dizer, eu percebo o porque de não perceber! É porque me está a faltar bases, mas onde eu posso estudar mais sobre isso? Sugerem artigos, sites, vídeos ou livros?
Obrigado
Re: Resolução de Equação com Factorial
30 Oct 2015, 01:27
LAP = Lei do Anulamento do Produto. Isto é, quando um produto é zero, pelo menos um dos factores é zero.