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DÚVIDAS? Nós respondemos!

são duas questões do livro "Probabilidade Aplicações à Estatística de Paul Meyer" cujas minhas respostas diferiram do gabarito. analisei o gabarito porém não compreendi o porque da minha resposta estar errada.
mas vou postar só uma questão.

questão 3.34. A seguinte (de algum modo simplória) previsão de tempo é empregada
por um amador. O tempo, diariamente, é classificado como "seco" ou "úmido ", e
supõe-se que a probabilidade de que qualquer dia dado seja igual ao dia anterior
seja uma constante p (O < p < 1). Com base em registros passados, admite-se que
1 de janeiro tenha probabilidade {B de ser dia "seco". Fazendo {\({B}_{n}\)= probabilida-
de (de que o n-ésimo dia do ano seja "seco"), pede-se obter uma expressão para
\({B}_{n}\) em termos de B de p. Calcule também \(\lim_{n -> \infty}{B}_{n}\) interprete o seu resulta-
do [Sugestão: Exprima\({B}_{n}\) termos de \({B}_{n - 1}\)']

minha resolução:

\({B}_{n} = {B}_{n - 1} . p + \left(1 - {B}_{n - 1} \right) . B = B + {B}_{n - 1} . \left(p - B \right)\)
Mas
\({B}_{n - 1} = {B}_{n - 2} . p + \left(1 - {B}_{n - 2} \right) . B = B + {B}_{n - 2} . \left(p - B \right)\)
Assim, Por enquanto:
\({B}_{n} = B + B . \left(p - B \right) + {B}_{n - 2} . {\left(p - B\right)}^{2}\)
fazendo isso com \({B}_{n - 3}, {B}_{n - 4}, .... , {B}_{n - (n -1)}\) , cheguei a seguite expressão:
\({B}_{n} = \sum_{1}^{n}B . {(p - B)}^{n - 1}\)

Porém no gabarito está assim:
\({B}_{n} = 0,5 + {(2p - 1)}^{n} . \left(B - 0,5 \right)\)

Olá Marcos

Na 1.ª expressão da tua resolução, não me parece totalmente correcta, pois onde tens B deverias ter (1-p) que é a probabilidade do tempo não estar igual ao do dia anterior.

Acrescento que, a minha resolução que demorei quase 2 horas, também não bate exactamente com o gabarito, mas o meu resultado está coerente com a estrutura do enunciado. Não tenho a certeza. Voltarei mais tarde a este exercício.

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F. Martins

A solução do "gabarito" não está correcta. Aqui vão as contas: a fórmula de recorrência, como já foi dito é

\(B_n = p B_{n-1} + (1-p)(1-B_{n-1}) \Leftrightarrow
B_{n} - (2p+1)B_{n-1} = 1-p\)

Ora, trata-se de uma equação de diferenças linear de primeira ordem. Começamos por determinar a solução geral da equação homogénea:

\(H_{n}-(2p-1)H_{n-1} = 0 \Leftrightarrow H_n = C (2p+1)^n\)

Temos agora que determinar uma solução particular da equação completa... Como o segundo membro é uma constante (1-p), podemos tentar uma solução particular do tipo \(P_n = K\). Substituindo na equação inicial obtemos a solução particular \(P_n = 0.5\).

A solução da equação será a soma das duas

\(B_n = H_n + P_n = 0.5 + C(2p-1)^n\)

FInalmente, a constante C pode ser calculada sabendo que \(B_1=B\). Desse modo obtemos \(C=(B-0.5)/(2p-1)\), pelo que

\(B_n =0.5 + (B-0.5)(2p-1)^{n-1}.\)

Apesar de não ser exactamente igual à que disse que está no gabarito, é esta que está correcta (repare que a que referiu nem sequer vale em geral B, quando n=1).

Deste modo vejamos os diferentes casos:

1. Se p=1, isto é, se a probabilidade de o tempo de um dia ser igual ao anterior for 1, temos \(B_n = 0.5 + (B-0.5)\cdot 1 = B\), o que faz sentido pois se o tempo não muda a probabilidade de um certo dia ser seco deve ser igual à prob. de o primeiro dia ser seco.

2. Se p=0, isto é, se a probabilidade de o tempo ser diferente do dia anterior for 1, então B_n vai alternando entre (1-B) e B

3. Se p=0.5, B_n = 0.5.

4. Se 0<p<0.5 então B_n é oscilatória mas tende para 0.5.

5. Se 0.5 < p <1 então B_n é monótona e tende também para 0.5

Muito boa análise Sobolev! Gostei mesmo. Não fui pelo lado das equações às diferenças, o meu caminho foi o Binómio de Newton, mas surpreendeste-me.

Abraço Matemático

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