Coeficiente do termo, binomio newton

[Jow]

Qual é o coeficiente do termo x⁷ no desenvolvimento de \(\binom{x^{2}+\frac{1}{x^{3}}}{}\)¹¹?

[Paulo Testoni]

Hola.

Vamos aplicar a fórmula do termo geral de (a + b)^n , onde a = x² , b = 1/x³= x-³ e n = 11. Como queremos o quinto termo, fazemos p = 4 na fórmula do termo geral e efetuamos os cálculos indicados. Temos então:

T4+1 = T5 = C11,4 * (x²)^(11-4) * (x-³)^4
T4+1 = T5 = C11,4 * (x²)^7 * (x-³)^4
T4+1 = T5 = 11!/7!4! * x^14 * x-^12
T4+1 = T5 = 330 * (x²)^7 * 1/x^12 ==> note que aqui o expoente de x² é 7, mas: x^14/x^12 = x^2

Portanto o coeficiente do termo x^7 pedido é 330 ou é:

Então 1 termo anterior temos o 4 termo o que nos dá:

T3+1 = T4 = C11,3 * (x²)^(11-3) * (x-³)^3
T3+1 = T4 = C11,3 * (x²)^8 * (x-³)3
T3+1 = T4 = C,11 * x^16*x-9
T3+1 = T4 = C11,3 *x^(16-9)
T3+1 = T4 = C11,3 * x^7
T3+1 = T4 = 165x^7
Portanto o coeficiente do termo x^7 pedido é 165.