Coeficiente do termo x ...

[Jow]

Olá, alguém consegue fazer?

No desenvolvimento de \(\left ( x-\frac{2}{x^{2}} \right )^{16}\), calcule o coefuiciente do termo x⁴, caso exista.

[santhiago]

Tome \(a = x\) e \(b = -\frac{2}{x^2}}\) . Pelo teorema Binomial

\((a+b)^{16} = \sum_{k=0}^{16} \binom{16}{k} a^{16-k} \cdot b^{k}\) .

E \(a^{16-k} \cdot b^{k} = x^{16-k} \cdot \left(- \frac{2}{x^2}} \right)^k = (-2)^k x^{16-k} \cdot \frac{1}{x^{2k}} = (-2)^k x^{16-k -2k} = (-2)^{k} x^{16 -3k}\) .

Existe \(k\) inteiro não negativo tal que \(16 -3k = 4\) ?

[Jow]

Tome \(a = x\) e \(b = -\frac{2}{x^2}}\) . Pelo teorema Binomial

\((a+b)^{16} = \sum_{k=0}^{16} \binom{16}{k} a^{16-k} \cdot b^{k}\) .

E \(a^{16-k} \cdot b^{k} = x^{16-k} \cdot \left(- \frac{2}{x^2}} \right)^k = (-2)^k x^{16-k} \cdot \frac{1}{x^{2k}} = (-2)^k x^{16-k -2k} = (-2)^{k} x^{16 -3k}\) .

Existe \(k\) inteiro não negativo tal que \(16 -3k = 4\) ?

Então o coeficiente do termo seria 12 ou o resultado de (-2)^12?

[Jow]

Tome \(a = x\) e \(b = -\frac{2}{x^2}}\) . Pelo teorema Binomial

\((a+b)^{16} = \sum_{k=0}^{16} \binom{16}{k} a^{16-k} \cdot b^{k}\) .

E \(a^{16-k} \cdot b^{k} = x^{16-k} \cdot \left(- \frac{2}{x^2}} \right)^k = (-2)^k x^{16-k} \cdot \frac{1}{x^{2k}} = (-2)^k x^{16-k -2k} = (-2)^{k} x^{16 -3k}\) .

Existe \(k\) inteiro não negativo tal que \(16 -3k = 4\) ?

Então o coeficiente do termo seria 12 ou o resultado de (-2)^12?

Corrigindo .. coeficiente do termo seria -2^4?

[santhiago]

Será ele multiplicado pela combinação C_{16,4} .