Probabilidade no controlo de qualidade da água

[leomjr]

O controle de qualidade da água é feito em um determinado lençol freatico.A água é considerada contamida se nela houver a prensença de ''substancias tipo A'' e/ou '' substancias tipo B e tipo C, simultaneamente". As probabilidades de se encontrarem estas substancias tipo A,B e C são 0.4, 0.3 e 0.8, respectivamente. Existindo substancias tipo A não existirâo substancias tipo B. Existindo substancia tipo B, a probabilidade de substancias C é reduzida à metade.
Levando em conta as informações acima, calcule:
A) a probabilidade da água ester contaminada.
B) a probabilidade de ocorrer as substâncias do tipo B ou C ou ambos.
C) sabendo que a agua esta contaminada, a probabilidade de ela ter sido contaminada pelas substancias:(i) tipo A e (ii) tipos B e C

[josesousa]

a)
\(P("contaminada") = P(A \cup (B \cap C))\)

como \(P(A \cap B) = 0\),

\(P("contaminada") = P(A \cup (B \cap C)) = P(A) +P(B \cap C)\)

Para além disso,

\(P(C|B) = \frac{1}{2} P(C)\)
ou seja
\(\frac{P(C \cap B)}{P(B)} = \frac{1}{2} P(C)\)

concluindo

\(P("contaminada") = P(A) +\frac{1}{2}P(B)P(C)=0,4+0,5.0,3.0,8 = 0,52\)

[josesousa]

b)
Isto é
\(P(B \cup C) = P(B)+P(C)-P(B \cap C) = 0,3+0,8-0,12 = 0,98\)

c)
\(P(A|"contaminada") = \frac{P(A \cap "contaminada")}{P("contaminada")}=
= \frac{P("contaminada"|A) P(A)}{P("contaminada")}\)

Mas, sabendo que se aconteceu A ela está contaminada, \(P("contaminada"|A) =1\) e

\(P(A|"contaminada") = \frac{P(A)}{P("contaminada")}\)

[leomjr]

1)a) P(A) + P(B inter C) + P(A inter B inter C)
b)P(B) + P(C) - P(B inter C).

[leomjr]

1)a) P(A) + P(B inter C) + P(A inter B inter C)
b)P(B) + P(C) - P(B inter C).

a)0,4+0,12=0,52 ja que não podemos ter inter das três
b)0,3+0,8-0,12=0,98
Portando a e b conferem

[leomjr]

b)
Isto é
\(P(B \cup C) = P(B)+P(C)-P(B \cap C) = 0,3+0,8-0,12 = 0,98\)

c)
\(P(A|"contaminada") = \frac{P(A \cap "contaminada")}{P("contaminada")}=
= \frac{P("contaminada"|A) P(A)}{P("contaminada")}\)

Mas, sabendo que se aconteceu A ela está contaminada, \(P("contaminada"|A) =1\) e

\(P(A|"contaminada") = \frac{P(A)}{P("contaminada")}\)

Fiquei com dúvida apenas na c , não entendi o raciocinio utilizado

[Rubik]

Boa noite José, atentei a resolução da alínea b, e segundo o que fiz, não será:

\(P((BUA)U(B\cap C ))\)

Dado que querem a probabilidade de estar contaminado com B ou com C, ou com B intersectado com C.

Corrija-me se estiver enganado! Cumprimentos!

[josesousa]

Boa noite José, atentei a resolução da alínea b, e segundo o que fiz, não será:

\(P((BUA)U(B\cap C ))\)

Dado que querem a probabilidade de estar contaminado com B ou com C, ou com B intersectado com C.

Corrija-me se estiver enganado! Cumprimentos!

Na alínea b) nem falam em A...

[Rubik]

Peço desculpa, escrevi mal, no lugar de A deve ler-se C.

[Rubik]

A probabilidade pedida não é:

\(P(B)\cup P(C) \cup P(B\cap C)\) ?

Sendo isto, não seria:

\(P((C\cup B) \cup (B\cup C))\)

Que dava origem a:

\(P(C \cup B)=P(A)+P(B)-P(C\cap B)\), ou seja:

E, o resultado de cima reunido com a intersecção de B com C?

Ou seja:

\(P((C \cup B)\cup(B\cap C))=P(C\cup B)+P(B\cap C)-P((C\cup B)\cap (B\cap C))\)

Corrija-me se o meu raciocínio estiver incorrecto.

Cumprimentos!