Combinação: Nº pessoas numa festa

[Lidiane_k91]

(IPA) Ao participar de uma comemoração de final de ano na empresa em que trabalha, o
gerente, para testar os seus conhecimentos matemáticos, queria descobrir quantas
pessoas estavam presentes na festa. Entretanto não queria fazer a contagem das
pessoas pela maneira tradicional e sim pelo número de apertos de mãos dados
naquela festa. Sabendo que todos apertaram-se às mãos uma única vez e que o total
de apertos de mão foi 190, então, se ele fez a conta correta, o número de pessoas na
festa era de

A resposta correta desta questão é 20, gostaria de saber como chegar nesse resultado com a resolução do problema. Muito obrigada!

[danjr5]

Olá Lidiane,
boa tarde!

Tomemos como exemplo a situação problema: quantos apertos de mãos são dados entre 3 (A, B e C) pessoas?

Como o número de pessoas é pequeno podemos enumerá-los, veja: AB, AC e BC.

Poderíamos tê-lo resolvido aplicando a fórmula de combinação!

\(\\ C_{n, p} = \frac{n!}{(n - p)!p!} \\\\\\ C_{3, 2} = \frac{3!}{1!2!} \\\\ C_{3, 2} = \frac{3 \cdot 2!}{2!} \\\\ \fbox{C_{3,2} = 3}\)


Com isso,

\(C_{n, p} = \frac{n!}{(n - p)!p!}\)

\(C_{n, 2} = \frac{n!}{(n - 2)!2!}\)

\({190} = \frac{n \cdot (n - 1) \cdot \cancel{(n - 2)!}}{\cancel{(n - 2)!}{2} \cdot {1}}\)

\(\frac{n(n - 1)}{2} = {190} \\\\\\ n^2 - n = {380}\)

\(n^2 - n - {380} = 0 \\\\ (n - 20)(n + 19) = 0\)

\(\begin{cases} n - {20} = {0} \Rightarrow \fbox{n = {20}} \\ n + {19} = {0} \Rightarrow \fbox{n = - {19}}\end{cases}\)


Uma vez que \(n \in \mathbb{N}\), temos \(\fbox{\fbox{n = 20}}\)