Calcular a probabilidade da soma de dois divisores ser par

[Fernando Magalhães]

Considere N o maior número natural menor que 3.000 com a seguinte decomposição em fatores primos
\(2^{x}.3^{y}.5^{z}\)
Selecionando ao acaso dois divisores distintos e positivos de N, qual a probabilidade de a soma dos mesmos ser um número par?

[Rui Carpentier]

Primeiro, há que determinar o número N. Sendo \(N<3000=2^3\cdot 3\cdot 5^3\) também um número da forma \(N=2^x\cdot 3^y\cdot 5^z\), temos que o máximo divisor comum a N e 3000 é um múltiplo de \(30=2\cdot 3\cdot 5\). Logo \(N=3000-30k=30(100-k)\), sendo k o menor inteiro positivo tal que 100-k tem como fatores primos 2, 3 e/ou 5. Facilmente se verifica que k=4, com \(N=2^6\cdot 3^2\cdot 5^1\).
Agora só temos que ver que N tem 6 divisores ímpares e 36 divisores pares. Portanto, há um total de \(6\times 36=216\) pares de divisores com soma ímpar num total de \({42 \choose 2}=861\). Logo a probabilidade de a soma de dois divisores é \(\frac{861-216}{861}=\frac{215}{287}\).

[professorhelio]

Considere N o maior número natural menor que 3.000 com a seguinte decomposição em fatores primos
\(2^{x}.3^{y}.5^{z}\)
Selecionando ao acaso dois divisores distintos e positivos de N, qual a probabilidade de a soma dos mesmos ser um número par?

Fatorando 3000 temos 2^3 . 3 . 5^3
O maior número com essa decomposição seria 2^2 . 3 . 5^3
O número de divisores seria (2+1).(1+1).(3+1) = 24
Teríamos 8 ímpares e 16 pares.
Assim o total de grupos de 2 números é C24,2 = 24.23/(2.1) = 276
Para ser par temos grupos com 2 pares, ou seja, C16,2 = 16.15/(2.1) = 120
Ou podemos ter dois ímpares, ou seja, C8,2 = 8.7/(2.1) = 28
Assim, temos 120 + 28 = 148 grupos de dois com soma par.
Assim, a probabilidade será 148/276 = 53,6%

[Fernando Magalhães]

Considere N o maior número natural menor que 3.000 com a seguinte decomposição em fatores primos
\(2^{x}.3^{y}.5^{z}\)
Selecionando ao acaso dois divisores distintos e positivos de N, qual a probabilidade de a soma dos mesmos ser um número par?

Fatorando 3000 temos 2^3 . 3 . 5^3
O maior número com essa decomposição seria 2^2 . 3 . 5^3
O número de divisores seria (2+1).(1+1).(3+1) = 24
Teríamos 8 ímpares e 16 pares.
Assim o total de grupos de 2 números é C24,2 = 24.23/(2.1) = 276
Para ser par temos grupos com 2 pares, ou seja, C16,2 = 16.15/(2.1) = 120
Ou podemos ter dois ímpares, ou seja, C8,2 = 8.7/(2.1) = 28
Assim, temos 120 + 28 = 148 grupos de dois com soma par.
Assim, a probabilidade será 148/276 = 53,6%

Caros Srs. Esta questão caiu na prova do vestibular de Medicina da Universidade Mauricio de Nassau de Recife e apresenta como resposta no gabarito o valor 19/35. Como vejo é de difícil resolução para um aspirante a médico. Creio não haver necessidade de um maior conhecimento matemático para a profissão almejada. Acho um erro da banca examinadora cobrar questões desse nível. Em tempo, como saber pela decomposição quantos são pares e quantos são ímpares?
c

[Rui Carpentier]

(...)
Fatorando 3000 temos 2^3 . 3 . 5^3
O maior número com essa decomposição seria 2^2 . 3 . 5^3
(...)

No enunciado diz-se apenas que N é o maior número natural menor que 3000 com decomposição do tipo \(2^x \cdot 3^y \cdot 5^z\). Não diz que o número N tenha que ser divisor de 3000. Assim sendo, N não poderá ser 2^2 . 3 . 5^3=1500 pois 2^6 . 3^2 . 5^1=2880 é maior.

(...)
Caros Srs. Esta questão caiu na prova do vestibular de Medicina da Universidade Mauricio de Nassau de Recife e apresenta como resposta no gabarito o valor 19/35.

19/35?? Gostaria de ver a resolução deles (será que assumiram que N seria 2700=2^2 . 3^3 . 5^2?). É que, a menos que se imponha que x,y,z tenham de ser maiores que um, 2880 é o valor de N.