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Alguém me pode ajudar, por favor?

De quantas maneiras se podem colocar 6 bolas diferentes em 8 caixas diferentes, não podendo ficar mais de quatro bolas numa caixa?
R: 259456

Muito obrigado

aluno20000,
Para cada caixa temos:
8 possibilidades diferentes (Y) com ATÉ 4 bolas diferentes (X, XX, XXX, XXXX) de um total de 6 bolas:
\((Y.X)+(Y.X.X)+(Y.X.X.X)+(Y.X.X.X.X)\)
logo, se são 8 caixas, então:
\(8[(8.6)+(8.6.5)+(8.6.5.4)+(8.6.5.4.3)]=33024\)

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Vivemos em um mundo onde toda informação é falsa até que se prove o contrário.
A Verdade está a caminho.

Obrigado pela ajuda mas nas soluções aparece esta resposta e não percebo porquê : 8^6-8*A(8,2)*C(6,5) = 259456.
A(8,2) é arranjo de 8 dois a dois.
C(6,5) é combinação de 6 cinco a cinco.

aluno20000,
já entendi.
6 bolas diferentes arrumadas em 8 caixas diferentes é:
\(8^6\)
se,
não pode haver caixas contendo mais de 4 bolas, então, devemos subtrair as caixas que possuem 5 e 6 bolas:
\(8^6-8A_{8,3}=259456\)
mas,
ainda não entendi, como, \(A_{8,3}=A_{8,2}*C_{6,5}\) pode representar caixa com 5 e 6 bolas.

imagino que seja esse o entendimento:
arranjo de 8 caixas contendo 5 e 6 bolas (2 possibilidades):
\(A_{8,2}\)
combinação de 6 bolas (6 a 6) e (5 a 5) (2 possibilidades):
\(C_{6,6} \times C_{6,5}=C_{6,5}\)

por isso,
\(8^6-8A_{8,2} \times C_{6,5}\)

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Não percebi. Porque é que é 8^6 e não é 6^8? Desculpa mas não percebi a tua resolução, podias explicar o teu raciocinio por favor?

aluno20000,
a potência representa a distribuição (ou arrumação) das bolas.
\(8^6\) representa 8 caixas contendo 6 bolas
se, fizer
\(6^8\) estaríamos dizendo 6 caixas contendo 8 bolas

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Tem a certeza que era essa a fórmula que aparecia na resolução? Não seria antes 8^6-8-A(8,2)*C(6,5)? É que as fórmulas são parecidas (diferem apenas de um operador) mas só me faz sentindo a segunda:
Temos \(8^6=8\times 8\times 8\times 8\times 8\times 8\) maneiras de colocar 6 bolas distintas em 8 caixas distintas, das quais excluimos
8 maneiras de colocar as 6 bolas numa só caixa e
A(8,2)*C(6,5) maneiras de colocar 5 bolas numa só caixa e a outra bola noutra caixa. Neste último caso, há que escolher 5 das 6 bolas (daí o termo C(6,5)) e duas de entre as 8 caixas, a 1ª para colocar as 5 bolas e a 2ª para colocar a restante bola (daí o termo A(8,2)).

valeu, Rui,
questão complicada, é difícil de entender mesmo, uma dessas num concurso derruba muita gente!

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Já percebi. Sim, a resposta correta tem de ser 8^6-8-A(8,2)*C(6,5), a resposta que estava nas soluções não faz sentido.

Muito obrigado aos dois pela ajuda :-)