Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Caros,

Levo um tempo com um problema que não consigo generalizar sua resposta. Entendo a sua dinâmica, mas não a condenso em algo mais sucinto. Inclusive, acredito que seja um problema famoso e com algum nome especial, porém, não consegui encontrar nada a respeito. Pois bem, vamos lá!

Imagine uma caixa com N bolas brancas. Aleatoriamente, pego uma dessas bolas brancas, a pinto de preta e a devolvo para caixa. Se faço I procedimentos como descritos anteriormente, como evolui a quantidade de bolas brancas B a cada iteração. Jargosamente e mudando um pouco a pergunta, como fica a P(B,I), onde P é a probabilidade de se encontrar B bolas após I iterações?

Escreverei um pouco do que fiz nos comentários.

Fica mais fácil para mim pensar em P(B,I) = P(N-p,I), onde p é a quantidade de bolas pretas.

Considere {} ou {B|P} a representação do estado da caixa cuja quantidade de bolas seja N em termos de B e P.
Não faz sentido perguntar p > I.


Inicialmente, temos {N|0}, o que faz com que a evolução leve a {N-1,1} de n formas diferentes.
P(N-1,1) = 1 ## possível de ser feito de N maneiras (cada bola te gera uma possibilidade)

Para o segundo momento, as possibilidades crescem... pode-se obter
P(N-1,2) = 1/n ## do total de n² maneira de escolher uma bola com duas iterações, n levam a escolha da mesma bola
P(N-2,2) = (n-1)/n ## cada n possibilidade da primeira iteração oferece n-1 maneiras para que se tenha p=2
P(Total) = P(N-1,2) + P(N-2,2) = 1.

Para a terceira iteração
P(N-1,3) = 1/n² ## cada situação de mesmo p = 1 anterior gera uma possibilidade
P(N-2,3) = (n-1)/n² + 2*(n-1)/n² ## de cada estado p = 1, geram (n-1) e de cada estado p = 2, geram 2
P(N-3,3) = (n-1)(n-2)/n³ ## de cada estado p = 2, sai n -2 estados com p = 3 (três bolas pretas)
P(Total) = 1/n² + (n-1)/n² + 2*(n-1)/n² + (n-1)(n-2)/n² = (1 + n -1 + 2n - 2 + n² - 3n +2)/n² = 1

Enfim... não sintetizo a lógica. Não consigo generalizar o raciocínio e escrever P(B,I) de vez.

Agradeço a todos que me ajudarem!

O que consegui foi um triângulo/tabela em que cada elemento E(I,P) em função das iterações I e P bolas pintadas de preto do total N é dado por

E(0,0) = 1 : para x ∈ N;

E(I,P) = [N - P + 1]*E(I-1.P-1) + [P]*E(I-1,P) ; I =< P

E(I,P) = 0 ; para I>P;