Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Quantos são os divisores do número 2310?

Não sei como resolver esta questão recorrendo à matéria da probabilidade.

Obrigada

Boa tarde,

Observe que 2310 = 2 x 3 x 5 x 7 x 11.

Os expoentes dos fatores de 2310 são todos iguais 1, assim o total de divisores de 2310 é:

(1+1) x (1+1) x (1+1) x (1+1) x (1+1) = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32.


A título de curiosidade, ei-los:
1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 14, 15, 21, 22, 30, 33, 35, 42, 55, 66, 70, 77, 105, 110, 154, 165, 210, 231, 330, 385, 462, 770, 1155, 2310.

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Fraol
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Muito obrigada Fraol.

Mas não percebo como é que a tua resposta está relacionada com a matéria dada em probabilidades.

Agradecia que me explicasses como chegaste ao:

(1+1) x (1+1) x (1+1) x (1+1) x (1+1) = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32

Obrigada,

Liliana

Bom dia,




(Obs: editei para postar as expressões pois no meu navegador as imagens não estavam visíveis. )

Vamos observar alguns dos divisores que listei anteriormente:

\(1 = 2^0 \cdot 3^0 \cdot 5^0 \cdot 7^0 \cdot 11^0\) , ( se a imagem não estiver visível a expressão é: 1 = 2^0 x 3^0 x 5^0 x 7^0 x 11^0 )

\(7 = 2^0 \cdot 3^0 \cdot 5^0 \cdot 7^1 \cdot 11^0\) , ( se a imagem não estiver visível a expressão é: 7 = 2^0 x 3^0 x 5^0 x 7^1 x 11^0 )

\(55 = 2^0 \cdot 3^0 \cdot 5^1 \cdot 7^0 \cdot 11^1\) , ( se a imagem não estiver visível a expressão é: 55 = 2^0 x 3^0 x 5^1 x 7^0 x 11^1 )

\(1115 = 2^0 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \cdot 7^1 \cdot 11^1\) e ( se a imagem não estiver visível a expressão é: 1115 = 2^0 x 3^1 x 5^1 x 7^1 x 11^1 )

\(2310 = 2^1 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \cdot 7^1 \cdot 11^1\) . ( se a imagem não estiver visível a expressão é: 2310 = 2^1 x 3^1 x 5^1 x 7^1 x 11^1 )

Então podemos intuir que os divisores de 2310 são todos no formato: \(2^m \cdot 3^n \cdot 5^p \cdot 7^q \cdot 11^r\), onde, nesse caso especialmente,

\(m, n, p, q, r \in \left {0,1 \right}\) que é um conjunto com dois elementos - é daqui que saiu o 1+1=2.

Agora veja que para cada caso temos a possibilidade da ocorrência de todos os outros e daí obtemos, pelo Princípio Multiplicativo, os \(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32\).

Vamos ver um outro exemplo:

Quantos são dos divisores de 12?

Bom \(12 = 2^2 \cdot 3^1\). ( se a imagem não estiver visível a expressão é: 12 = 2^2 x 3^1 )

Então seus divisores são no formato \(2^m \cdot 3^n\), onde \(m \in \left {0,1, 2 \right}\) e \(n \in \left {0,1 \right}\), logo o número de divisores de 12 é igual a \(3 \cdot 2 = 6\).

Caso não esteja claro, por favor, passe o(s) ponto(s) questionável(is) pra gente discutir.

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Fraol
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Muito obrigada fraol, mas eu nunca tinha ouvido falar desta matéria de probabilidades... É a única forma de resolver este exercício?

Obrigada e Bom Ano!!

Olá, bom dia.

Essa é a forma clássica. Eventualmente, pode haver alguma outra variante, que desconheço.

Bom ano pra você também!

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Fraol
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Ok! Muito obrigada fraol.

Bom ano!!