Descobrir o valor de p, onde ∑ p^i=1/2
06 set 2013, 17:03
Seja X uma variável aleatória que representa o número de peças produzidas por uma máquina em um período de um dia. A probabilidade da maquina estar desligada em um dia qualquer é 1/2.(Se a máquina estiver desligada, então ela não produz nenhuma peça). A probabilidade da máquina estar ligada e produzir i peças é dada por P(X=i) = p^i, i=1,2,3,...
Sabemos que para uma variável aleatória X, para cada valor possível Xi de X, ∑ P(Xi)=1, como a probabilidade da máquina estar deligada é de 1/2, temos que
∑ p^i=1/2, com i variando de 1 até ∞.
A questão a pede o valor da constante p, a resposta é 1/3, mas não to conseguindo chegar lá...
Sabemos que para uma variável aleatória X, para cada valor possível Xi de X, ∑ P(Xi)=1, como a probabilidade da máquina estar deligada é de 1/2, temos que
∑ p^i=1/2, com i variando de 1 até ∞.
A questão a pede o valor da constante p, a resposta é 1/3, mas não to conseguindo chegar lá...
Re: Descobrir o valor de p, onde ∑ p^i=1/2 [resolvida]
06 set 2013, 19:22
Olá guilhermelelis95
Observa que a série \(S=\sum_{n\in \mathbb{N}}p^{n}\) é uma série geométrica cujo 1.º termo a1=p, e cuja razão r=p. Mas as séries geométricas são convergentes desde que a sua razão esteja entre 0 e 1, o que é este um dos casos, já que p é uma probabilidade.
A Soma de uma série geométrica convergente é dada pela expressão:
\(S=\frac{a_{1}}{1-r}\)
Logo, \(1/2=\frac{p}{1-p}\Leftrightarrow p=1/3\)
Bom estudo.
Observa que a série \(S=\sum_{n\in \mathbb{N}}p^{n}\) é uma série geométrica cujo 1.º termo a1=p, e cuja razão r=p. Mas as séries geométricas são convergentes desde que a sua razão esteja entre 0 e 1, o que é este um dos casos, já que p é uma probabilidade.
A Soma de uma série geométrica convergente é dada pela expressão:
\(S=\frac{a_{1}}{1-r}\)
Logo, \(1/2=\frac{p}{1-p}\Leftrightarrow p=1/3\)
Bom estudo.
Re: Descobrir o valor de p, onde ∑ p^i=1/2
09 set 2013, 17:24
Hmm, mas de onde vem essa expressão?
Re: Descobrir o valor de p, onde ∑ p^i=1/2
10 set 2013, 16:57
Referes-te à soma da Série Geométrica?
Sabes que \(u_{n}=p^{n}\) é uma progressão geométrica. Certo?
Uma progressão geométrica, tem como termo geral: \(u_{n}=a_{1}r^{n-1}\)
Então, escreve a expressão da Soma dos n primeiros termos (Sn) de uma progressão geométrica?
Porque, uma Série é, por definição, a soma de infinitos termos de uma sucessão, então podes calcular a soma da Série, que será, por isso:
\(S=\lim_{n}S_{n}\)
Agora calcula a este limite, e ficas com a expressão analítica, de que tinhas a dúvida.
Sabes que \(u_{n}=p^{n}\) é uma progressão geométrica. Certo?
Uma progressão geométrica, tem como termo geral: \(u_{n}=a_{1}r^{n-1}\)
Então, escreve a expressão da Soma dos n primeiros termos (Sn) de uma progressão geométrica?
Porque, uma Série é, por definição, a soma de infinitos termos de uma sucessão, então podes calcular a soma da Série, que será, por isso:
\(S=\lim_{n}S_{n}\)
Agora calcula a este limite, e ficas com a expressão analítica, de que tinhas a dúvida.