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| Encontrar coeficiente de x em sequência - Discreta https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=19&t=10079 |
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| Autor: | pedreira91 [ 11 dez 2015, 18:44 ] |
| Título da Pergunta: | Encontrar coeficiente de x em sequência - Discreta |
Alguém em ajuda ? Encontrar o coeficiente de x^27 em (x^3+x^4+...)^6 |
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| Autor: | jorgeluis [ 12 dez 2015, 05:49 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Encontrar coeficiente de x em sequência - Discreta |
fazendo a soma da PG: x3 + x4 + ... + x26 = k \(k = \frac{x^3.(x^24 - 1)}{x - 1}\) e colocando x27 = y teremos: (k + y)6 = pelo desenvolvimento do binômio de newton, temos: C6,0k6y0 + C6,1k5y1 + ... + C6,5k1y5 + C6,6k0y6 = logo, C6,1k5y1 = C6,1 = \(\frac {6!}{1!(6-1)!} = 6\) 6k5y1 6k5x27 |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 14 dez 2015, 21:48 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Encontrar coeficiente de x em sequência - Discreta |
\((x^3+x^4+\cdots )^6=x^{18}(1+x+x^2+\cdots )^6=x^{18}(1-x)^{-6}=x^{18}\sum_{k=0}^{\infty}{-6 \choose k}(-x)^k=\sum_{k=0}^{\infty}{-6 \choose k}(-1)^kx^{k+18}\) Nota: Usamos aqui a série binomial: \((1+x)^\alpha=\sum_{k=0}^{\infty}{\alpha \choose k} x^k\) onde \({\alpha \choose k}=\frac{\alpha(\alpha -1)\cdots (\alpha -k+1)}{k!}\). Assim sendo, o coeficiente de x^27=x^{9+18} é dado por \({-6 \choose 9}(-1)^9=\frac{6\cdot 7\cdots 14}{9!}=\frac{14!}{5!9!}=2002\). |
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