Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Alguém pode me ajudar nessa ?

Qual é o número de soluções em inteiros da equação x+y+z+w=25, onde cada variável é no mínimo 3 e no máximo 8.

Pelo o que eu estou estudando, o problema se resume em encontrar o coeficiente x^25 da equação (x^3,x^4,...,x^8)^4, pois x,y,z,w ∊ {3,4,5,6,7,8}.

Boa tarde!

É isso mesmo!

Irá montar 4 polinômios:
\(p_1(x)=x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8
p_2(x)=x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8
p_3(x)=x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8
p_4(x)=x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8\)

E irá efetuar o produto entre os 4 polinômios:
\(p(x)=p_1(x)\cdot p_2(x)\cdot p_3(x)\cdot p_4(x)
p(x)=(x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8)\cdot (x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8)\cdot (x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8)\cdot (x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8)
p(x)=(x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8)^4
p(x)=x^{32}+4x^{31}+10x^{30}+20x^{29}+35x^{28}+56x^{27}+80x^{26}+104x^{25}+125x^{24}+140x^{23}+146x^{22}+140x^{21}+125x^{20}+104x^{19}+80x^{18}+56x^{17}+35x^{16}+20x^{15}+10x^{14}+4x^{13}+x^{12}\)

O coeficiente de \(x^{25}\) é 104, que é a resposta.

Espero ter ajudado!

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Baltuilhe
"Nós somos o que fazemos repetidamente. Excelência, então, não é um modo de agir, é um hábito." Aristóteles

Obrigado pela resposta, mas não teria uma forma mais viável de achar esse resultado ?

Baltuilhe,
acredito que seus calculos estejam errados, veja:

x + y + w + z = 25

x,y,w,z podem ser {3, 4, 5, 6, 7, 8}

considerando o valor maximo p/ cada variavel,
temos, nessa ordem:

x = 6 possibilidades (3 a 8)
y = 6 possibilidades (3 a 8)
w = 4 possibilidades (3 a 6)
z = 1 possibilidade (3), isso porque: 8+8+6+z=25

logo,
6 x 6 x 4 x 1 = 144 é n de soluções possíveis

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Vivemos em um mundo onde toda informação é falsa até que se prove o contrário.
A Verdade está a caminho.

Boa tarde!

Jorge, vou deixar abaixo uma 'planilha' com a ideia da solução daí me responda se te convenci

E perceba que nesta solução (força bruta) fiz a contagem de quantas respostas possíveis existem e que este número é igual ao obtido pelo método que empreguei.

Abraços!

Link para o arquivo excel = https://www.dropbox.com/s/9x3rm8bwcfdypj9/Solu%C3%A7%C3%A3o.xlsx?dl=0

\(\begin{array}{c|c}
\hline
soma & quantidade\\
\hline
12 & 1\\
13 & 4\\
14 & 10\\
15 & 20\\
16 & 35\\
17 & 56\\
18 & 80\\
19 & 104\\
20 & 125\\
21 & 140\\
22 & 146\\
23 & 140\\
24 & 125\\
25 & 104\\
26 & 80\\
27 & 56\\
28 & 35\\
29 & 20\\
30 & 10\\
31 & 4\\
32 & 1\\
\hline
Total & 1296
\hline
\end{array}\)

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Baltuilhe
"Nós somos o que fazemos repetidamente. Excelência, então, não é um modo de agir, é um hábito." Aristóteles

rs.
força bruta mesmo, doeu só de olhar !

embora não tenha conferido, eu acredito em você, valeu.

abraço.

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A Verdade está a caminho.

A resposta é essa, mas eu gostaria de saber se há alguma forma mais fácil de determinar o coeficiente.

pedreira,
esse método é, realmente, monstruoso, mas se você está estudando esse desenvolvimento, então não tem jeito, mesmo porque seu professor vai querer o resultado obtido por essa forma.

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A Verdade está a caminho.

Boa tarde!

Uma forma que achei interessante para tentar realizar o produto!

\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
P(x).P(x) & x^3 & x^4 & x^5 & x^6 & x^7 & x^8\\
\hline
x^3 & x^6 & x^7 & \cancel{x^8} & x^9 & x^{10} & x^{11}\\
\hline
x^4 & x^7 & \cancel{x^8} & x^9 & x^{10} & x^{11} & x^{12}\\
\hline
x^5 & \cancel{x^8} & x^9 & x^{10} & x^{11} & x^{12} & x^{13}\\
\hline
x^6 & x^9 & x^{10} & x^{11} & x^{12} & x^{13} & x^{14}\\
\hline
x^7 & x^{10} & x^{11} & x^{12} & x^{13} & x^{14} & x^{15}\\
\hline
x^8 & x^{11} & x^{12} & x^{13} & x^{14} & x^{15} & x^{16}\\
\hline
\end{array}\)

Somando as diagonais - veja o exemplo do \(x^8\) - com mesmos expoentes terá:
\(x^{16}+2x^{15}+3x^{14}+4x^{13}+5x^{12}+6x^{11}+5x^{10}+4x^9+3x^8+2x^7+x^6\)

Agora, como queremos o produto à quarta, podemos multiplicar novamente:
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
P(x)^2.P(x)^2 & x^6 & 2x^7 & 3x^8 & 4x^9 & 5x^{10} & 6x^{11} & 5x^{12} & 4x^{13} & 3x^{14} & 2x^{15} & x^{16}\\
\hline
x^6 & x^{12} & 2x^{13} & \cancel{3x^{14}} & 4x^{15} & 5x^{16} & 6x^{17} & 5x^{18} & 4x^{19} & 3x^{20} & 2x^{21} & x^{22}\\
\hline
2x^7 & 2x^{13} & \cancel{4x^{14}} & 6x^{15} & 8x^{16} & 10x^{17} & 12x^{18} & 10x^{19} & 8x^{20} & 6x^{21} & 4x^{22} & 2x^{23}\\
\hline
3x^8 & \cancel{3x^{14}} & 6x^{15} & 9x^{16} & 12x^{17} & 15x^{18} & 18x^{19} & 15x^{20} & 12x^{21} & 9x^{22} & 6x^{23} & 3x^{24}\\
\hline
4x^9 & 4x^{15} & 8x^{16} & 12x^{17} & 16x^{18} & 20x^{19} & 24x^{20} & 20x^{21} & 16x^{22} & 12x^{23} & 8x^{24} & 4x^{25}\\
\hline
5x^{10} & 5x^{16} & 10x^{17} & 15x^{18} & 20x^{19} & 25x^{20} & 30x^{21} & 25x^{22} & 20x^{23} & 15x^{24} & 10x^{25} & 5x^{26}\\
\hline
6x^{11} & 6x^{17} & 12x^{18} & 18x^{19} & 24x^{20} & 30x^{21} & 36x^{22} & 30x^{23} & 24x^{24} & 18x^{25} & 12x^{26} & 6x^{27}\\
\hline
5x^{12} & 5x^{18} & 10x^{19} & 15x^{20} & 20x^{21} & 25x^{22} & 30x^{23} & 25x^{24} & 20x^{25} & 15x^{26} & 10x^{27} & 5x^{28}\\
\hline
4x^{13} & 4x^{19} & 8x^{20} & 12x^{21} & 16x^{22} & 20x^{23} & 24x^{24} & 20x^{25} & 16x^{26} & 12x^{27} & 8x^{28} & 4x^{29}\\
\hline
3x^{14} & 3x^{20} & 6x^{21} & 9x^{22} & 12x^{23} & 15x^{24} & 18x^{25} & 15x^{26} & 12x^{27} & 9x^{28} & 6x^{29} & 3x^{30}\\
\hline
2x^{15} & 2x^{21} & 4x^{22} & 6x^{23} & 8x^{24} & 10x^{25} & 12x^{26} & 10x^{27} & 8x^{28} & 6x^{29} & 4x^{30} & 2x^{31}\\
\hline
x^{16} & x^{22} & 2x^{23} & 3x^{24} & 4x^{25} & 5x^{26} & 6x^{27} & 5x^{28} & 4x^{29} & 3x^{30} & 2x^{31} & x^{32}\\
\hline
\end{array}\)

Somando as diagonais - veja o exemplo do \(x^{14}\), que dá na soma 10 - com mesmos expoentes terá:
\(x^{32}+4x^{31}+10x^{30}+20x^{29}+35x^{28}+56x^{27}+80x^{26}+104x^{25}+125x^{24}+140x^{23}+146x^{22}+140x^{21}+125x^{20}+104x^{19}+80x^{18}+56x^{17}+35x^{16}+20x^{15}+10x^{14}+4x^{13}+x^{12}\)

Espero que tenha 'facilitado'...

Abraços!

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Baltuilhe
"Nós somos o que fazemos repetidamente. Excelência, então, não é um modo de agir, é um hábito." Aristóteles