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| Arranjos e Combinações generalizados https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=19&t=1035 |
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| Autor: | decio [ 12 nov 2012, 00:00 ] |
| Título da Pergunta: | Arranjos e Combinações generalizados |
(Rosen6-seção 5.5-ex. 9) Uma padaria vende pães temperados, pães com gergelim, pães integrais, pães salgados, pães de centeio, pães com uvas passas, pães com erva doce e pães comuns. Quantos modos existem para escolher: uma dúuzia de pães com no mínimo 3 pães integrais e não mais do que 2 pães salgados? |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 13 nov 2012, 22:12 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Arranjos e Combinações generalizados |
Olá, Para resolver este problema vou ter de recorrer a combinações com repetições (multiset coefficient: ver aqui ou o teorema 2 daqui). Dado \(n\) tipos de pães há \(\left(\!\!{n\choose k}\!\!\right)={n+k-1\choose k}\) maneiras de escolher \(k\) pães. Se não houvessem os constragimentos de ter mínimo 3 pães integrais e não mais do que 2 pães salgados, a solução seria apenas \(\left(\!\!{8\choose 12}\!\!\right)={19\choose 12}=\frac{19!}{12!7!}\). Mas com tais constragimentos temos que a solução é dada por: \(\left\{\left(\!\!{7\choose 12}\!\!\right)-\left(\!\!{6\choose 12}\!\!\right)-\left(\!\!{6\choose 11}\!\!\right)-\left(\!\!{6\choose 10}\!\!\right)\right\}+\left\{\left(\!\!{7\choose 11}\!\!\right)-\left(\!\!{6\choose 11}\!\!\right)-\left(\!\!{6\choose 10}\!\!\right)-\left(\!\!{6\choose 9}\!\!\right)\right\}+\left\{\left(\!\!{7\choose 10}\!\!\right)-\left(\!\!{6\choose 10}\!\!\right)-\left(\!\!{6\choose 9}\!\!\right)-\left(\!\!{6\choose 8}\!\!\right)\right\}\) (na 1ª parcela temos fixamos 0 pães salgados, escolhemos 12 pães das restantes 7 variadades e tiramos os casos em que temos 0, 1 ou 2 pães integrais, na 2ª parcela temos fixamos 1 pão salgado, escolhemos os restantes 11 pães das restantes 7 variadades e tiramos os casos em que temos 0, 1 ou 2 pães integrais, e na 3ª parcela temos fixamos 2 pães salgados, escolhemos os restantes 10 pães das restantes 7 variadades e tiramos os casos em que temos 0, 1 ou 2 pães integrais). Agora é fazer contas. Duas dicas que pode facilitar as contas: 1ª \(\left(\!\!{n\choose k}\!\!\right)={n+k-1\choose k}={n+k-1\choose n-1}\). 2ª \({m\choose l}+{m+1\choose l}+\cdots +{m+k\choose l}={m+k+1\choose l+1}-{m\choose l+1}\). |
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