Fórum de Matemática
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Olá pessoal,

Não sou matemático e o meu problema é real, do meu trabalho.
Meus conhecimentos de análise combinatória não me permitiram chegar a uma solução satisfatória.

Problema:
Faço a gestão de 44 unidades de saúde. Treze das quais possuem cozinha (produtoras), as outras 31 não.
Tenho que fornecer alimentação para todas as 44, com essas 13 cozinhas e preciso saber quantas são as possibilidades de combinação.
Vou separar essas unidades em lotes (para fim de gestão).
Cada lote precisa ter no mínimo 1 e no máximo 13 unidades produtoras. Posso ter um único lote contendo todas as 13, 2 lotes (um com 1 produtora e outro com 12 produtoras, 2 + 11, ..., 12 + 1), 3 lotes (1+1+11, 1+2+10...). Não posso ter um lote sem unidade produtora.
As 31 unidades não-produtoras podem estar alocadas em qualquer lote, em quaisquer quantidades, por exemplo (para 2 lotes: 0+31 e 31+0), (para 3 lotes: 0+10+21...), (7 lotes: 0+0+0+0+1+15+15...), etc.

Pensei que o resultado poderia ser "(13! x 31! = 5,1 . 10^43)", mas não achei que fosse tão simples.

Espero ter ficado claro. Estou à disposição para esclarecimentos.

Não é muito perceptível que tipo de possibilidades quer. Olhando para o esboço de resolução que apresentou fico com a ideia que só interessa o nº de unidades (de cada tipo*) que cada lote contêm e que os lotes são numerados. Por exemplo, quando diz que há 12 possibilidades de ter dois lotes (sem contar com as unidades sem cozinha): (A,B)=(1,12),(2,11),...,(12,1), há distinção entre (1,12) e (12,1) mas não importa quais as unidades que ficam em cada um dos lotes. Se for assim, a solução seria \(\sum_{k=1}^{13}{12\choose k-1}\times {31+k-1\choose k-1}\) onde \({n\choose k}\) designa o número de escolhas de k elementos em n possíveis. Numa breve explicação da fórmula, há \({12\choose k-1}\) maneiras de distribuir 13 unidades em k lotes de modo que cada lote receba pelo menos uma unidade desse tipo e \({31+k-1\choose k-1}\) maneiras de distribuir as restantes 31 unidades nos k lotes sem mais restrições.

Para mim o mais natural seria que distinguir distribuições com diferentes unidades mesmo que preservassem o nº de unidades por lote (por exemplo {{a},{b,c}} seria distinto de {{b},{a,c}}). Nesse caso a fórmula seria \(\sum_{k=1}^{13}\left\{{12\atop k}\right\}\times k^{31}\) onde \(\left\{{12\atop k}\right\}\) (o número de Stirling de 2ª espécie S(13,k)) dá-nos o nº de partições de um conjunto de 13 elementos em k conjuntos não-vazios e \(k^{31}\) dá-nos o nº de funções de um conjunto de 31 elementos para um conjunto de k elementos (note que uma distribuição das 31 unidades sem cozinha nos k lotes corresponde a uma função que a cada unidade atribui o lote para onde foi).

* com cozinha ou sem cozinha