Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Bom dia,

Quem me pode ajudar?

Obrigado.

Tal como está não faz muito sentido, já que para alguns termos da soma terá \(2k >n\). Nesse caso qual o significado das combinações de n elementos 2k a 2k? Com uma pequena modificação ao enunciado é possível resolver:

\(\sum_{k=0}^{n} \left(\begin{array}{c} 2n \\ 2k\end{array}\right) = 2^{2n+1}\)

ou

\(\sum_{k=0}^{n} \left(\begin{array}{c} n \\ k\end{array}\right) = 2^{n}\)

Bom dia,

Sim, também penso que sim, mas a pergunta é só assim...

Alguém pode ajudar?

Obrigado.

Veja bem, o enunciado pura e simplesmente não está correcto... As combinações de n elementos 2k a 2k só se encontram definidas se \(n \ge 2k\). Quando calcula a soma, 2k vai de 0 até 2n, ultrapassando fatalmente n, a dado momento.

Na verdade, pode-se definir \({\alpha \choose k}\) para \(k>\alpha\) através da expressão \({\alpha \choose k}=\prod_{i=0}^{k-1}\frac{\alpha -i}{k-i}\) o que no caso de n ser um inteiro não-negativo menor que k dá \({n\choose k}=0\).
Deste modo, a expressão \(\sum_{k=0}^{n}{n\choose 2k}\) faz sentido (\(\sum_{k=0}^{n}{n\choose 2k}=\sum_{k=0}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}{n\choose 2k}\)). Para ver quanto dá basta ter em mente a identidade de Pascal: \({n\choose k}={n-1\choose k-1}+{n-1\choose k}\) para \(k>0\).
Portanto fica \(\sum_{k\geq 0}{n\choose 2k} ={n\choose 0}+\sum_{k> 0}{n\choose 2k} = {n-1\choose 0}+\sum_{k> 0}\left({n-1\choose 2k-1}+{n-1\choose 2k} \right)=\sum_{i\geq 0}{n-1\choose i}=2^{n-1}\).