Bom dia,
Quem me pode ajudar?
Obrigado.
| Anexos: |
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| Determinar valor soma somatorio apresentado https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=19&t=10880 |
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| Autor: | macmc [ 13 abr 2016, 13:53 ] | ||
| Título da Pergunta: | Determinar valor soma somatorio apresentado | ||
Bom dia, Quem me pode ajudar? Obrigado.
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| Autor: | Sobolev [ 13 abr 2016, 14:24 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Determinar valor soma somatorio apresentado |
Tal como está não faz muito sentido, já que para alguns termos da soma terá \(2k >n\). Nesse caso qual o significado das combinações de n elementos 2k a 2k? Com uma pequena modificação ao enunciado é possível resolver: \(\sum_{k=0}^{n} \left(\begin{array}{c} 2n \\ 2k\end{array}\right) = 2^{2n+1}\) ou \(\sum_{k=0}^{n} \left(\begin{array}{c} n \\ k\end{array}\right) = 2^{n}\) |
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| Autor: | macmc [ 15 abr 2016, 09:25 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Determinar valor soma somatorio apresentado |
Bom dia, Sim, também penso que sim, mas a pergunta é só assim... Alguém pode ajudar? Obrigado. |
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| Autor: | Sobolev [ 15 abr 2016, 10:37 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Determinar valor soma somatorio apresentado |
Veja bem, o enunciado pura e simplesmente não está correcto... As combinações de n elementos 2k a 2k só se encontram definidas se \(n \ge 2k\). Quando calcula a soma, 2k vai de 0 até 2n, ultrapassando fatalmente n, a dado momento. |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 15 abr 2016, 18:42 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Determinar valor soma somatorio apresentado [resolvida] |
Na verdade, pode-se definir \({\alpha \choose k}\) para \(k>\alpha\) através da expressão \({\alpha \choose k}=\prod_{i=0}^{k-1}\frac{\alpha -i}{k-i}\) o que no caso de n ser um inteiro não-negativo menor que k dá \({n\choose k}=0\). Deste modo, a expressão \(\sum_{k=0}^{n}{n\choose 2k}\) faz sentido (\(\sum_{k=0}^{n}{n\choose 2k}=\sum_{k=0}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}{n\choose 2k}\)). Para ver quanto dá basta ter em mente a identidade de Pascal: \({n\choose k}={n-1\choose k-1}+{n-1\choose k}\) para \(k>0\). Portanto fica \(\sum_{k\geq 0}{n\choose 2k} ={n\choose 0}+\sum_{k> 0}{n\choose 2k} = {n-1\choose 0}+\sum_{k> 0}\left({n-1\choose 2k-1}+{n-1\choose 2k} \right)=\sum_{i\geq 0}{n-1\choose i}=2^{n-1}\). |
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