Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Bom dia,

Quem me ajuda, sff?

Obrigado.

Bom dia,

Alguém consegue ajudar?

Obrigado.

O sucesso neste problema está em usar a simetria das combinações: \({n\choose k}={n\choose n-k}\).
Assim, tente resolver os seguintes passos:
(1) \(\sum_{k=0}^{2n}{2n\choose k}^2{=}2\left(\sum_{k=0}^{n}{2n\choose k}^2 \right) - {2n\choose n}^2\)
(2) \({4n\choose 2n}=\sum_{k=0}^{2n}{2n\choose k}{2n\choose 2n-k}=\sum_{k=0}^{2n}{2n\choose k}^2\)
Deste dois passos tira facilmente a identidade pretendida.
Nota: Para a primeira igualdade do segundo passo observe que escolher 2n elementos de um conjunto de 4n elementos consiste em escolher k elementos entre os primeiros 2n elementos e 2n-k nos restantes 2n elementos, para algum k de 0 a 2n. As restantes igualdades resultam da simetria das combinações.

Bom dia,

o 1 não tem imagem. Podia continuar o seu raciocínio, sff?

Obrigado.

De vez em quanto acontece esse problema e eu não sei porquê. Nessa situaçao o mais fácil é clicar no botão editar ou no botão citar (quando está a responder) e ver o código latex. Se souber latex fica a saber o que era suposto estar escrito, se não também dá para adevinhar em alguns casos.

No caso em questão a identidade (1) é
\(\sum_{k=0}^{2n}{2n\choose k}^2{=}2\left(\sum_{k=0}^{n}{2n\choose k}^2 \right) - {2n\choose n}^2\)
(\sum_{k=0}^{2n}{2n\choose k}^2{=}2\left(\sum_{k=0}^{n}{2n\choose k}^2 \right) - {2n\choose n}^2 em código latex)

PS- Parece que na previsão não está a resultar. A identidade é o somatório dos quadrados de combinações de 2n a k com k de 0 a 2n é o dobro da mesma soma com k de 0 a n menos combinações de 2n a n ao quadrado.

Um agradecimento meu ao Baltuilhe por ter conseguido por as fórmulas visíveis nas mensagens anteriores.

Rui,

Já apanhei tentando arrumar algumas minhas... até descobrir (não sei pq) que em algumas equações tem que colocar o sinal da igualdade entre chaves ( {=} ) senão dá aquele erro de imagem.
Não consegui ainda detectar o motivo exato... mas todas as vezes resolvi assim!

Abraços!

_________________
Baltuilhe
"Nós somos o que fazemos repetidamente. Excelência, então, não é um modo de agir, é um hábito." Aristóteles