sem usar método indução matemática, provar
13 abr 2016, 13:55
Bom dia,
Quem me ajuda, sff?
Obrigado.
Quem me ajuda, sff?
Obrigado.
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Re: sem usar método indução matemática, provar
15 abr 2016, 10:01
Bom dia,
Alguém consegue ajudar?
Obrigado.
Alguém consegue ajudar?
Obrigado.
Re: sem usar método indução matemática, provar
15 abr 2016, 18:22
O sucesso neste problema está em usar a simetria das combinações: \({n\choose k}={n\choose n-k}\).
Assim, tente resolver os seguintes passos:
(1) \(\sum_{k=0}^{2n}{2n\choose k}^2{=}2\left(\sum_{k=0}^{n}{2n\choose k}^2 \right) - {2n\choose n}^2\)
(2) \({4n\choose 2n}=\sum_{k=0}^{2n}{2n\choose k}{2n\choose 2n-k}=\sum_{k=0}^{2n}{2n\choose k}^2\)
Deste dois passos tira facilmente a identidade pretendida.
Nota: Para a primeira igualdade do segundo passo observe que escolher 2n elementos de um conjunto de 4n elementos consiste em escolher k elementos entre os primeiros 2n elementos e 2n-k nos restantes 2n elementos, para algum k de 0 a 2n. As restantes igualdades resultam da simetria das combinações.
Assim, tente resolver os seguintes passos:
(1) \(\sum_{k=0}^{2n}{2n\choose k}^2{=}2\left(\sum_{k=0}^{n}{2n\choose k}^2 \right) - {2n\choose n}^2\)
(2) \({4n\choose 2n}=\sum_{k=0}^{2n}{2n\choose k}{2n\choose 2n-k}=\sum_{k=0}^{2n}{2n\choose k}^2\)
Deste dois passos tira facilmente a identidade pretendida.
Nota: Para a primeira igualdade do segundo passo observe que escolher 2n elementos de um conjunto de 4n elementos consiste em escolher k elementos entre os primeiros 2n elementos e 2n-k nos restantes 2n elementos, para algum k de 0 a 2n. As restantes igualdades resultam da simetria das combinações.
Editado pela última vez por Rui Carpentier em 19 abr 2016, 21:57, num total de 2 vezes.
Razão: Arrumando o código
Razão: Arrumando o código
Re: sem usar método indução matemática, provar
16 abr 2016, 09:35
Bom dia,
o 1 não tem imagem. Podia continuar o seu raciocínio, sff?
Obrigado.
o 1 não tem imagem. Podia continuar o seu raciocínio, sff?
Obrigado.
Re: sem usar método indução matemática, provar [resolvida]
17 abr 2016, 21:14
macmc Escreveu:Bom dia,
o 1 não tem imagem. Podia continuar o seu raciocínio, sff?
Obrigado.
De vez em quanto acontece esse problema e eu não sei porquê. Nessa situaçao o mais fácil é clicar no botão editar ou no botão citar (quando está a responder) e ver o código latex. Se souber latex fica a saber o que era suposto estar escrito, se não também dá para adevinhar em alguns casos.
No caso em questão a identidade (1) é
\(\sum_{k=0}^{2n}{2n\choose k}^2{=}2\left(\sum_{k=0}^{n}{2n\choose k}^2 \right) - {2n\choose n}^2\)
(\sum_{k=0}^{2n}{2n\choose k}^2{=}2\left(\sum_{k=0}^{n}{2n\choose k}^2 \right) - {2n\choose n}^2 em código latex)
PS- Parece que na previsão não está a resultar. A identidade é o somatório dos quadrados de combinações de 2n a k com k de 0 a 2n é o dobro da mesma soma com k de 0 a n menos combinações de 2n a n ao quadrado.
Editado pela última vez por Baltuilhe em 17 abr 2016, 22:41, num total de 1 vez.
Razão: Arrumando o código
Razão: Arrumando o código
Re: sem usar método indução matemática, provar
19 abr 2016, 22:00
Um agradecimento meu ao Baltuilhe por ter conseguido por as fórmulas visíveis nas mensagens anteriores.
Re: sem usar método indução matemática, provar
19 abr 2016, 23:19
Rui,
Já apanhei tentando arrumar algumas minhas... até descobrir (não sei pq) que em algumas equações tem que colocar o sinal da igualdade entre chaves ( {=} ) senão dá aquele erro de imagem.
Não consegui ainda detectar o motivo exato... mas todas as vezes resolvi assim!
Abraços!
Já apanhei tentando arrumar algumas minhas... até descobrir (não sei pq) que em algumas equações tem que colocar o sinal da igualdade entre chaves ( {=} ) senão dá aquele erro de imagem.
Não consegui ainda detectar o motivo exato... mas todas as vezes resolvi assim!
Abraços!