Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Licença, espero que estejam todos bem.
Possuo essa dúvida que irei relatar melhor nesta mensagem.

Supondo que tenho 3 elementos (A,B,C), onde cada possui respectivamente as frequências/ocorrências A=3,B=5 e C=1.

Sei que posso formar várias permutações!?(arranjo) com o(s) dado(s) repetido(s) acima, tal como:
AAABBBBBC
ABBACABBB
...

Posso formar uma permutação/arranjo de 9 símbolos com pesos 3,5,1 para ver quantas probabilidades possíveis, resultando em:
p(3,5,1)9 = 9!/3!*5!*1! == 362880/6*120*1= 504 possíveis combinações dentre os elementos.


A pergunta que faço é como encontrar o índex de determinada sequência dada?
Se o índex 1 for AAABBBBBC, qual será o índex para BCAABBABB?
Existe alguma fórmula para tal? Alguém poderia me guiar ou comentar a respeito? Suponho que seja por força bruta (começar do index 1 e ir aumentando a cada etapa até encontrar o desejado), mas espero outras respostas.

Agradeço de antemão a paciência cedida e o tempo gasto por ler e tentar me explicar esta dúvida.

Ainda sobre
E se eu tiver o índex, como faço para saber a sequência que o índex vai gerar?

No exemplo anterior, possuo 504 possíveis combinações, como saber que sequência de elementos me dará o, vamos supor, index 353?

Novamente agradeço, perdão por 2as perguntas consecutivas.
Estou aqui pelo alimento cerebral e não pela resposta.

Sei de um método que embora envolva algumas contas não é 100% força bruta. Tal consiste em contar, para cada dígito k de uma sequência \(X_1X_2\cdots X_9\), o número de sequências \(Y_1Y_2\cdots Y_9\) que são coincidentes nos dígitos à esquerda (i.e. \(Y_1\cdots Y_{k-1}=X_1\cdots X_{k-1}\)) e possui um dígito k inferior (i.e. \(Y_k<X_k\)). Note que não há constrangimentos à direita a não ser que a sequência Y terá de ter no total 3 A's, 5 B's e 1 C. Se designarmos esse número por \(\alpha_k\) temos que o index será \(1+\alpha_1+\alpha_2+\cdots +\alpha_9\).
No exemplo em concreto BCAABBABB teremos:
\(\alpha_1\) = número de sequências de frequência (3,5,1) começadas em A = número de sequências de frequência (2,5,1) = \({8\choose 2}{6\choose 5}\) = 168;
\(\alpha_2\) = número de sequências de frequência (3,5,1) começadas em BA ou BB = número de sequências de frequência (2,4,1) + número de sequências de frequência (3,3,1) = \({7\choose 2}{5\choose 4} + {7\choose 3}{4\choose 3}\) = 245;
\(\alpha_3=\alpha_4=0\);
\(\alpha_5\) = número de sequências de frequência (3,5,1) começadas em BCAAA = número de sequências de frequência (0,4,0) = \({4\choose 4}\) = 1;
\(\alpha_6\) = número de sequências de frequência (3,5,1) começadas em BCAABA = número de sequências de frequência (0,3,0) = \({3\choose 3}\) = 1;
\(\alpha_7=0\);
\(\alpha_8=\alpha_9=0\).
Logo o index é 1+168+245+0+0+1+1+0+0+0= 416.

Boas senhor Rui Carpentier;
Agradeço vossa senhoria pela explicação e pelos exemplos, e os passos feito após cada etapa me ajudaram muito na compreensão do problema. Agora entendo sobre os índices.
O que costumo dizer é que quando tento algo por força bruta é porque não entendi o problema. Daí, sempre que surge algo parecido com força bruta busco ajuda, e nesse caso, a obtive.
Muito obrigado irmão.
Um ótimo fim de semana.