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| Duvida em provar por Indução https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=19&t=1195 |
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| Autor: | carlosecc [ 09 dez 2012, 01:31 ] |
| Título da Pergunta: | Duvida em provar por Indução |
Prezados me deparei com esta questão \(2^{3n}\) - 1 é divisivel por 7. Bem sabemos que na indução temos que realizar a base onde substituimos o n por 1 que é o P(1) apos fazemos a hipotese o P(K) onde substituimos o n por K e finalmente a conclusão onde subtituimos o n por K + 1 que é o P(K+1). Comecei a fazer assim fiz a base que da 7 = 7 ok, mas minha duvida como é que faço o P(K) e o P(K+1), se puderem me ajudar o quanto antes é que tenho prova semana que vem, desde ja gradeço a quem responder. |
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| Autor: | Fraol [ 09 dez 2012, 02:43 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Duvida em provar por Indução |
Boa noite, P(k): \(2^{3k-1} = 7 \cdot p => 2^{3k}.2^{-1} = 7 \cdot p\) então\(2^{3k} = 7 \cdot p \cdot 2\). P(k+1): \(2^{3(k+1)-1} = 7 \cdot q => 2^{3k + 2} = 7 \cdot q <=> 2^{3k} \cdot 2^2 = 7 \cdot q\). Mas, pela hipótese P(k), \(2^{3k} = 7 \cdot p \cdot 2\), então \(7 \cdot p \cdot 2 \cdot 2^2 = 7 \cdot q\). Ou seja: \(7 \cdot ( 8 \cdot p ) = 7 \cdot q\), o que claramente, mostra que P(k+1) é válida. . |
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| Autor: | carlosecc [ 09 dez 2012, 23:43 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Duvida em provar por Indução |
Obrigado fraol agora poderei aplicar no restante dos exercicios. |
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| Autor: | Fraol [ 10 dez 2012, 00:27 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Duvida em provar por Indução |
Olá, Uma observação em relação a essas provas por indução, o caminho mais adequado para provar P(k+1) seria: P(k+1): \(2^{3(k+1)-1} = 2^{3k + 2} = 2^{3k} \cdot 2^2\). Mas, pela hipótese P(k), \(2^{3k} = 7 \cdot p \cdot 2\), então \(2^{3k} \cdot 2^2 = 7 \cdot p \cdot 2 \cdot 2^2 = 7 \cdot ( 8 \cdot p )\) o que mostra que P(k+1) é divisível por 7. Veja que é um caminho levemente diferente do anterior pois não pressupõe que P(k+1) é válida, mas desenvolve a expressão de P(k+1), usa a hipótese, P(k), e então conclui que P(k+1) é válida. Bons estudos. , |
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| Autor: | carlosecc [ 11 dez 2012, 00:20 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Duvida em provar por Indução |
Ok não fiz todos mas usarei as dicas. |
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