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Uma equação diofantina linear (a x + b y = c, em que a,b,c são inteiros dados) tem solução (x,y) inteira se e só se c for múltiplo do máximo divisor comum entre a e b. No caso que propõe, como mdc(10,13) = 1, o segundo membro da equação (102) é múltiplo da mdc(10,13) pelo que a equação tem solução (soluções).
Uma solução (esquecendo por enquanto que queremos x<0,y<0) é x = 5, y=-4, pelo que qualquer solução da equação vai ser da forma
\(x = 5 -13 k, \qquad y=-4-10k, \quad k \in \mathbb{Z}\)
Para que x,y < 0 basta considerar \(k \ge 1\).
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