Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Um Fórum em Português dedicado à Matemática
Data/Hora: 29 mar 2024, 12:14

Os Horários são TMG [ DST ]




Fazer Nova Pergunta Responder a este Tópico  [ 6 mensagens ] 
Autor Mensagem
 Título da Pergunta: Achar a quantidade de pessoas!
MensagemEnviado: 09 jun 2017, 01:05 
Offline

Registado: 29 abr 2017, 19:34
Mensagens: 7
Localização: Paulínia
Agradeceu: 0 vez(es)
Foi agradecido: 0 vez(es)
Em uma festa, estavam presentes homens e mulheres,
sendo que havia 5 homens a mais do que mulheres.
Cada homem conversou com cada outro homem, cada
mulher conversou com cada outra mulher e cada homem
conversou com cada mulher, num total de 253 conversas.
O número total de pessoas nessa festa era, incluindo
homens e mulheres. (Por gentileza coloquem uma maneira fácil de resolução)


Topo
 Perfil  
 
 Título da Pergunta: Re: Achar a quantidade de pessoas!
MensagemEnviado: 09 jun 2017, 12:07 
Offline

Registado: 17 jan 2013, 13:36
Mensagens: 2487
Localização: Lisboa
Agradeceu: 31 vezes
Foi agradecido: 1049 vezes
Seja m e h o número de mulheres e de homens, respetivamente. Então sabe que:

1. \(h = m +5\)

2. O número de conversas entre homens é dado pelo número de combinações de h homens, dois a dois. O número de conversas entre mulheres é dado pelo número de combinações de m mulheres duas a duas. O número de conversas entre homens e mulheres é dado por h x m. O número total de conversas é 253. Então

\(\binom{h}{2} + \binom m2 + mh = 253 \Leftrightarrow
\binom{m+5}{2} + \binom{m}{2} + m(m+5)=253 \Leftrightarrow
\dfrac{(m+5)!}{(m+3)! 2!} + \dfrac{m!}{(m-2)! 2 !} + m(m+5) = 253\Leftrightarrow
\frac 12 (m+5)(m+4) + \frac 12 m(m-1) + m(m+5) =253\Leftrightarrow
m = -\frac{27}{2} \vee m=9\)

Como a primeira solução é claramente não admissível, a resposta será m = 9. Assim, existem na festa 9 mulheres e 14 homens, num total de 23 pessoas.


Topo
 Perfil  
 
 Título da Pergunta: Re: Achar a quantidade de pessoas!
MensagemEnviado: 10 jun 2017, 17:53 
Offline

Registado: 29 abr 2017, 19:34
Mensagens: 7
Localização: Paulínia
Agradeceu: 0 vez(es)
Foi agradecido: 0 vez(es)
Existe algum método mais fácil, pois não entendi como vc chegou a este resultado!


Topo
 Perfil  
 
 Título da Pergunta: Re: Achar a quantidade de pessoas!
MensagemEnviado: 11 jun 2017, 15:10 
Offline

Registado: 17 jan 2013, 13:36
Mensagens: 2487
Localização: Lisboa
Agradeceu: 31 vezes
Foi agradecido: 1049 vezes
Não creio que exista alguma forma mais fácil. Em problemas que envolvem contagem de configurações, tem que saber proceder a essas contagens, usando combinações, arranjos, permutações, etc. O que pode é procurar por combinações e ver a razão de ser da respetiva fórmula...


Topo
 Perfil  
 
 Título da Pergunta: Re: Achar a quantidade de pessoas!
MensagemEnviado: 13 jun 2017, 17:38 
Offline

Registado: 29 abr 2017, 19:34
Mensagens: 7
Localização: Paulínia
Agradeceu: 0 vez(es)
Foi agradecido: 0 vez(es)
Na verdade eu não entendi como vc chegou, nos resultados a partir da 3° linha, poderia detalhar-me?


Topo
 Perfil  
 
 Título da Pergunta: Re: Achar a quantidade de pessoas!
MensagemEnviado: 13 jun 2017, 17:49 
Offline

Registado: 17 jan 2013, 13:36
Mensagens: 2487
Localização: Lisboa
Agradeceu: 31 vezes
Foi agradecido: 1049 vezes
O número de formas de escolher p objetos num conjunto de n objetos (sem interessar a ordem) é chamado de "combinações de n objetos p a p" e calcula-se como
\(\binom np = \frac{n!}{p!(n-p)!}\).

Por sua vez
\(n! = n(n-1)(n-2) \cdots 1, \quad p! = p (p-1)(p-2) \cdots 1, \quad (n-p)! = (n-p)(n-p-1)\cdots 1\)

Então, por exemplo
\(\frac{(m+5)!}{(m+3)! 2!} = \frac{(m+5)(m+4)(m+3)(m+2) \cdots 1}{(m+3)(m+2)\cdots 1 \times (1 \cdot 2)} = \frac{(m+5)(m+4)}{2}\)

É com simplificações deste género que se passa da terceira para a quarta linha. Depois é só resolver a eq. do segundo grau que aparece.


Topo
 Perfil  
 
Mostrar mensagens anteriores:  Ordenar por  
Fazer Nova Pergunta Responder a este Tópico  [ 6 mensagens ] 

Os Horários são TMG [ DST ]


Quem está ligado:

Utilizadores a ver este Fórum: Nenhum utilizador registado e 48 visitantes


Criar perguntas: Proibído
Responder a perguntas: Proibído
Editar Mensagens: Proibído
Apagar Mensagens: Proibído
Enviar anexos: Proibído

Pesquisar por:
Ir para:  
cron