Determinar o coeficiente x^10 no Binômio de Newton

[ClaudioJR]

Gostaria de um auxilio nesta questão:

Calcule o coeficiente de \(x^{10}\) no desenvolvimento do binômio de Newton:

\((\sqrt{\frac{x}{3}} - \frac{5}{x^{2}})^{100}\)

Anexos

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[Rui Carpentier]

Pelo binómio de Newton \((\sqrt{\frac{x}{3}} - \frac{5}{x^{2}})^{100}=\sum_{k=0}^{100}{100 \choose k}\left(\sqrt{\frac{x}{3}}\right)^{k}\left(\frac{5}{x^{2}}\right)^{100-k}=\sum_{k=0}^{100}{100 \choose k}\left(\frac{5^{100-k}}{\sqrt{3}^k}\right)x^{\frac{k}{2}-2(100-k)}\).
Como \(\frac{k}{2}-2(100-k)=10\Leftrightarrow k=84\) temos que o coeficiente de \(x^{10}\) no desenvolvimento do binômio de Newton é \({100 \choose 84}\left(\frac{5^{100-84}}{\sqrt{3}^{84}}\right)=\frac{100!\times 5^{16}}{16!\times 84!\times 3^{42}}\).

[jorgeluis]

\(\left ( \sqrt{\frac{x}{3}}- \frac{5}{x^2}\right )^{100}\)
Outra opção é utilizar o Termo Geral do Binômio de Newton:
\(T_{p+1}=\binom{n}{p}.a^{n-p}.b^{p}
T_{p+1}=\binom{100}{p}.\left ( \sqrt{\frac{x}{3}}\right )^{100-p}.\left ( -\frac{5}{x^2}\right )^{p}\)
continuando o desenvolvimento, achamos:
\(p=16\)
e
consequentemente,
\(T_{17}=\binom{100}{16}. \frac{5^{16}}{3^{42}}.x^{10}\)