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| De quantas maneiras se podem colocar 6 bolas diferentes em 8 caixas diferentes, não podendo ficar mais de quatro bolas n https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=19&t=13343 |
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| Autor: | aluno20000 [ 10 nov 2017, 20:18 ] |
| Título da Pergunta: | De quantas maneiras se podem colocar 6 bolas diferentes em 8 caixas diferentes, não podendo ficar mais de quatro bolas n |
Alguém me pode ajudar, por favor? De quantas maneiras se podem colocar 6 bolas diferentes em 8 caixas diferentes, não podendo ficar mais de quatro bolas numa caixa? R: 259456 Muito obrigado |
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| Autor: | jorgeluis [ 11 nov 2017, 02:54 ] |
| Título da Pergunta: | Re: De quantas maneiras se podem colocar 6 bolas diferentes em 8 caixas diferentes, não podendo ficar mais de quatro bolas n |
aluno20000, Para cada caixa temos: 8 possibilidades diferentes (Y) com ATÉ 4 bolas diferentes (X, XX, XXX, XXXX) de um total de 6 bolas: \((Y.X)+(Y.X.X)+(Y.X.X.X)+(Y.X.X.X.X)\) logo, se são 8 caixas, então: \(8[(8.6)+(8.6.5)+(8.6.5.4)+(8.6.5.4.3)]=33024\) |
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| Autor: | aluno20000 [ 11 nov 2017, 09:12 ] |
| Título da Pergunta: | Re: De quantas maneiras se podem colocar 6 bolas diferentes em 8 caixas diferentes, não podendo ficar mais de quatro bolas n |
jorgeluis Escreveu: aluno20000, Para cada caixa temos: 8 possibilidades diferentes (Y) com ATÉ 4 bolas diferentes (X, XX, XXX, XXXX) de um total de 6 bolas: \((Y.X)+(Y.X.X)+(Y.X.X.X)+(Y.X.X.X.X)\) logo, se são 8 caixas, então: \(8[(8.6)+(8.6.5)+(8.6.5.4)+(8.6.5.4.3)]=33024\) Obrigado pela ajuda mas nas soluções aparece esta resposta e não percebo porquê : 8^6-8*A(8,2)*C(6,5) = 259456. A(8,2) é arranjo de 8 dois a dois. C(6,5) é combinação de 6 cinco a cinco. |
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| Autor: | jorgeluis [ 11 nov 2017, 11:53 ] |
| Título da Pergunta: | Re: De quantas maneiras se podem colocar 6 bolas diferentes em 8 caixas diferentes, não podendo ficar mais de quatro bolas n |
aluno20000, já entendi. 6 bolas diferentes arrumadas em 8 caixas diferentes é: \(8^6\) se, não pode haver caixas contendo mais de 4 bolas, então, devemos subtrair as caixas que possuem 5 e 6 bolas: \(8^6-8A_{8,3}=259456\) mas, ainda não entendi, como, \(A_{8,3}=A_{8,2}*C_{6,5}\) pode representar caixa com 5 e 6 bolas. imagino que seja esse o entendimento: arranjo de 8 caixas contendo 5 e 6 bolas (2 possibilidades): \(A_{8,2}\) combinação de 6 bolas (6 a 6) e (5 a 5) (2 possibilidades): \(C_{6,6} \times C_{6,5}=C_{6,5}\) por isso, \(8^6-8A_{8,2} \times C_{6,5}\) |
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| Autor: | aluno20000 [ 11 nov 2017, 15:40 ] |
| Título da Pergunta: | Re: De quantas maneiras se podem colocar 6 bolas diferentes em 8 caixas diferentes, não podendo ficar mais de quatro bolas n |
jorgeluis Escreveu: aluno20000, já entendi. 6 bolas diferentes arrumadas em 8 caixas diferentes é: \(8^6\) se, não pode haver caixas contendo mais de 4 bolas, então, devemos subtrair as caixas que possuem 5 e 6 bolas: \(8^6-8A_{8,3}=259456\) mas, ainda não entendi, como, \(A_{8,3}=A_{8,2}*C_{6,5}\) pode representar caixa com 5 e 6 bolas. imagino que seja esse o entendimento: arranjo de 8 caixas contendo 5 e 6 bolas (2 possibilidades): \(A_{8,2}\) combinação de 6 bolas (6 a 6) e (5 a 5) (2 possibilidades): \(C_{6,6} \times C_{6,5}=C_{6,5}\) por isso, \(8^6-8A_{8,2} \times C_{6,5}\) Não percebi. Porque é que é 8^6 e não é 6^8? Desculpa mas não percebi a tua resolução, podias explicar o teu raciocinio por favor? |
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| Autor: | jorgeluis [ 11 nov 2017, 16:10 ] |
| Título da Pergunta: | Re: De quantas maneiras se podem colocar 6 bolas diferentes em 8 caixas diferentes, não podendo ficar mais de quatro bolas n |
aluno20000, a potência representa a distribuição (ou arrumação) das bolas. \(8^6\) representa 8 caixas contendo 6 bolas se, fizer \(6^8\) estaríamos dizendo 6 caixas contendo 8 bolas |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 11 nov 2017, 17:22 ] |
| Título da Pergunta: | Re: De quantas maneiras se podem colocar 6 bolas diferentes em 8 caixas diferentes, não podendo ficar mais de quatro bolas n |
aluno20000 Escreveu: jorgeluis Escreveu: aluno20000, Para cada caixa temos: 8 possibilidades diferentes (Y) com ATÉ 4 bolas diferentes (X, XX, XXX, XXXX) de um total de 6 bolas: \((Y.X)+(Y.X.X)+(Y.X.X.X)+(Y.X.X.X.X)\) logo, se são 8 caixas, então: \(8[(8.6)+(8.6.5)+(8.6.5.4)+(8.6.5.4.3)]=33024\) Obrigado pela ajuda mas nas soluções aparece esta resposta e não percebo porquê : 8^6-8*A(8,2)*C(6,5) = 259456. A(8,2) é arranjo de 8 dois a dois. C(6,5) é combinação de 6 cinco a cinco. Tem a certeza que era essa a fórmula que aparecia na resolução? Não seria antes 8^6-8-A(8,2)*C(6,5)? É que as fórmulas são parecidas (diferem apenas de um operador) mas só me faz sentindo a segunda: Temos \(8^6=8\times 8\times 8\times 8\times 8\times 8\) maneiras de colocar 6 bolas distintas em 8 caixas distintas, das quais excluimos 8 maneiras de colocar as 6 bolas numa só caixa e A(8,2)*C(6,5) maneiras de colocar 5 bolas numa só caixa e a outra bola noutra caixa. Neste último caso, há que escolher 5 das 6 bolas (daí o termo C(6,5)) e duas de entre as 8 caixas, a 1ª para colocar as 5 bolas e a 2ª para colocar a restante bola (daí o termo A(8,2)). |
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| Autor: | jorgeluis [ 11 nov 2017, 17:37 ] |
| Título da Pergunta: | Re: De quantas maneiras se podem colocar 6 bolas diferentes em 8 caixas diferentes, não podendo ficar mais de quatro bolas n |
valeu, Rui, questão complicada, é difícil de entender mesmo, uma dessas num concurso derruba muita gente! |
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| Autor: | aluno20000 [ 11 nov 2017, 19:36 ] |
| Título da Pergunta: | Re: De quantas maneiras se podem colocar 6 bolas diferentes em 8 caixas diferentes, não podendo ficar mais de quatro bolas n |
Já percebi. Sim, a resposta correta tem de ser 8^6-8-A(8,2)*C(6,5), a resposta que estava nas soluções não faz sentido. Muito obrigado aos dois pela ajuda :-) |
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