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MensagemEnviado: 01 fev 2018, 22:18 
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Boa noite,

Estou com problemas na resolução da questão descrita abaixo. Segundo o gabarito final, a alternativa correta é a letra D. Tentei resolver de diferentes maneiras mas não conseguir encontrar o mesmo resultado.


Em um departamento, trabalham seis técnicos em tecnologia da informação e quatro técnicos em suporte e manutenção em informática, o número de equipes distintas com três técnicos, sendo pelo menos um técnico em tecnologia da informação, que se pode formar é:

A) 20 - B) 36 - C) 96 - D) 116 - E) 80


Obrigado desde já.


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MensagemEnviado: 02 fev 2018, 09:07 
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Um dos elementos tem que ser TI, existindo 6 escolhas possíveis. Os restantes 2 elementos podem ser ambos TI, ambos Mi, ou um de cada. Assim, o número de equipas é dado por

\(6 \times \left( \binom{5}{2} + \binom{4}{2} + 5 \times 4 \right)=216\)

A menos de algum engano meu, acho que a resposta correta não está entre as alternativas. A semalhança entre 116 e 216 faz-me pensar num erro de digitação do enunciado...


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MensagemEnviado: 02 fev 2018, 13:54 
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Bom dia!

Como queremos 'pelo menos' 1 TI, podemos ter 1, 2 ou 3 técnicos de TI em uma equipe de 3 pessoas.
Como temos 6 TIs e 4 TSMs podemos resolver de uma primeira forma assim:
\(\overbrace{ \binom{ 6 }{ 1 } \cdot \binom{ 4 }{ 2 } } ^ { \text{ 1 TI + 2 TSM } } + \overbrace{ \binom{ 6 }{ 2 } \cdot \binom{ 4 }{ 1 } } ^ { \text{ 2 TI + 1 TSM } } + \overbrace{ \binom{ 6 }{ 3 } \cdot \binom{ 4 }{ 0 } } ^ { \text{ 3 TI + 0 TSM } }\)

Agora, desenvolvendo este último termo:
\(\dfrac{ 6! }{ 1! (6 - 1)! } \cdot \dfrac{ 4! }{ 2! (4 - 2)! } + \dfrac{ 6! }{ 2! (6 - 2)! } \cdot \dfrac{ 4! }{ 1! (4 - 1)! } + \dfrac{ 6! }{ 3! (6 - 3)! } \cdot \dfrac{ 4! }{ 0! (4 - 0)! }\)

Simplificando e obtendo os valores de cada operação:
\(6 \cdot 6 + 15 \cdot 4 + 20 \cdot 1 = 36 + 60 + 20 = 116\)

Mas perceba que se tivéssemos MUITO mais técnicos nessa equipe a conta poderia ficar assustadoramente comprida. Portanto, há um caminho mais 'curto':
Primeiramente calculamos quantas equipes de 3 pessoas podemos formar com 6 + 4 = 10 pessoas.
\(\binom{ 10 }{ 3 } = \dfrac{ 10! }{ 3! (10 - 3)! } = 120\)

Como queremos pelo menos um 1 TI, deste total, irei subtrair o caso de uma equipe sem NENHUM TI.
\(120 - \binom{ 6 } { 0 } \cdot \binom{ 4 }{ 3 } = 120 - \dfrac{ 6! }{ 0! (6 - 0)! } \cdot \dfrac{ 4! }{ 3! (4 - 3)! }\\\\
120 - 1 \cdot 4 = 116\)

Espero ter ajudado!

_________________
Baltuilhe
"Nós somos o que fazemos repetidamente. Excelência, então, não é um modo de agir, é um hábito." Aristóteles


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