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| Probabilidade: Prove que P(A U B) .... https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=19&t=13933 |
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| Autor: | Flavio31 [ 07 ago 2018, 00:30 ] |
| Título da Pergunta: | Probabilidade: Prove que P(A U B) .... |
Boa noite, tenho muita dificuldade com exercícios do tipo: "Prove que..." Qual raciocínio vocês costumam usar para resolver esse tipo de problema? eu nunca sei se o que eu faço esta certo, por exemplo: Prove que P(A U B) <= P(A) + P(B) Minha ideia foi tentar encontrar uma contradição, então parti da hipótese que: A = {a1, a2, a3, ..., ai) tal que i pertence a N* B = {b1, b2, b3, ..., bj) tal que j pertence a N* o que eu quero provar é que P(A U B) > P(A) + P(B), a ideia é encontrar uma contradição da hipótese inicial e assim não seria possível P(A U B) ser maior que a soma das partes. dessa forma temos: P(A U B) = {a1, a2, a3, ..., ai, b1, b2, b3, ..., bi, x} se x pertence a A U B então x pertence a A ou x pertence a B. se x não pertence a A então x pertence a B e isso contradiz a hipótese inicial pois x não pertence a B. faz sentido isso ou não é assim que prova? |
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| Autor: | PierreQuadrado [ 07 ago 2018, 11:25 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Probabilidade: Prove que P(A U B) .... [resolvida] |
A resposta depende do modo como no seu curso foi introduzida a noção de probabilidade e quais as propriedades da mesma que pode usar. Se tiver introduzido a probabilidade como uma "medida" (este termo tem um significado matemático muito preciso), esta é por definição subaditiva, o que implica diretamente o resultado que refere. Se não for esse o caso mas tiver por exemplo estudado a propriedade \(P(A \cup B) = P(A)+P(B) - P(A \cap B)\) então o resultado vem simplesmente to facto de que \(P(A) + P(B) \ge P(A)+P(B) - P(A\cap B)\), já que \(P(A\cap B)\) é uma quantidade positiva. |
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| Autor: | Flavio31 [ 08 ago 2018, 14:07 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Probabilidade: Prove que P(A U B) .... |
Obrigado. A forma como eu fiz poderia ser considerada correta? |
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| Autor: | PierreQuadrado [ 08 ago 2018, 16:06 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Probabilidade: Prove que P(A U B) .... |
Não, pois o espaço de probabilidade não tem que ser constituído por acontecimentos discretos. Do modo que procedeu nunca pode provar que a proposição é válida para qualquer medida de probabilidade e espaço de acontecimentos. |
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