Você tem o gabarito dessa questão? Eu acho que a resposta é 14 porém não tenho certeza, segue meu raciocínio:
Acredito que a maior quantidade de bolas que deverá ser sorteada ocorrerá quando a probabilidade de sair duas bolas iguais for minima.
vamos supor que o aluno 1 escolheu a cor vermelha, a probabilidade de se retirar duas vermelhas da urna seria:
\(\frac{q}{7q} \frac{q-1}{7q - 1}\)
\(\frac{q-1}{7(7q - 1)}\)
O que nos interessa é a probabilidade de termos, por exemplo, duas vermelhas ou duas brancas ou duas pretas ... dessa forma a probabilidade disso ocorrer seria 7 vezes a probabilidade que encontramos acima:
\(7*\frac{q-1}{7(7q - 1)}\)
\(\frac{q-1}{7q - 1}\)
Calculei no Excel diversos valores para q usando a probabilidade acima, a condição menos provável de ocorrer é quando q = 2, ou seja, cada aluno tem duas bolas na caixa, nessas condições a probabilidade de se retirar duas bolas da mesma cor é de 7,7%.
Como para q = 2 a probabilidade de tirarmos duas iguais é a menor possível resta saber quantas bolas seriam o máximo possível a ser retirados da caixa, o máximo seriam 14 bolas, que é o equivalente a se retirar uma vermelha como bola numero 1 e só retirar outra vermelha quando todas as demais já tiverem sido sorteadas.
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