Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Olá pessoal,
Tenho essa questão a resolver:

determinar a formula fechada da seguinte relação de recorrência:

a_n = a_n-1 + 3 * 5ⁿ + n com a1 = 1 e n>= 2

No desenvolvimento eu encontro a seguinte espressão:
a_n = a_n-k + 3 * (5^n-3 + 5^n-2 + ...+ 5^n-1 + 5ⁿ) + (n-3 + n-2 + ... + n)
No primeiro parêntese eu fiz a fórmula de uma PG
No segundo parêntese eu vi o n!

A minha resposta é:
a_n = 1 + 3 * (5ⁿ - 1 / 4) + n!

Alguém pode me ajudar?

Boa tarde!

Usando os dados, teremos:

\(a_1{=}1\\
a_2{=}a_1+3\times 5^2+2{=}\overbrace{1}^{a_1}+3\times 5^2+2{=}1+2+3\times 5^2\\
a_3{=}a_2+3\times 5^3+3{=}\overbrace{1+3\times 5^2+2}^{a_2}+3\times 5^3+3{=}1+2+3+3\times\left(5^2+5^3\right)\\
a_4{=}a_3+3\times 5^4+4{=}\overbrace{1+3\times 5^2+2+3\times 5^3+3}^{a_3}+3\times 5^4+4{=}1+2+3+4+3\times\left(5^2+5^3+5^4\right)\\
a_5{=}a_4+3\times 5^5+5{=}\overbrace{1+3\times 5^2+2+3\times 5^3+3+3\times 5^4+4}^{a_4}+3\times 5^5+5{=}1+2+3+4+5+3\times\left(5^2+5^3+5^4+5^5\right)\\
\vdots
a_n{=}\overbrace{1+2+\ldots+n}^{\text{soma de pa}}+3\times\left(\overbrace{5^2+5^3+\ldots+5^n}^{\text{soma de pg}}\right)\\
a_n{=}\dfrac{n\cdot\left(n+1\right)}{2}+3\times\left[5^2\cdot\left(\dfrac{5^{n-1}-1}{5-1}\right)\right]\\
a_n{=}\dfrac{n\cdot\left(n+1\right)}{2}+3\cdot\dfrac{25}{4}\cdot\left(5^{n-1}-1\right)\\
\fbox{a_n{=}\dfrac{n\cdot\left(n+1\right)}{2}+\dfrac{75}{4}\cdot\left(5^{n-1}-1\right)}\)


Espero ter ajudado!

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Baltuilhe
"Nós somos o que fazemos repetidamente. Excelência, então, não é um modo de agir, é um hábito." Aristóteles