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| Formula fechada - relação de recorrência https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=19&t=14143 |
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| Autor: | GabrielMoura [ 11 abr 2019, 02:14 ] |
| Título da Pergunta: | Formula fechada - relação de recorrência |
Olá pessoal, Tenho essa questão a resolver: determinar a formula fechada da seguinte relação de recorrência: an = an-1 + 3 * 5n + n com a1 = 1 e n>= 2 No desenvolvimento eu encontro a seguinte espressão: an = an-k + 3 * (5n-3 + 5n-2 + ...+ 5n-1 + 5n) + (n-3 + n-2 + ... + n) No primeiro parêntese eu fiz a fórmula de uma PG No segundo parêntese eu vi o n! A minha resposta é: an = 1 + 3 * (5n - 1 / 4) + n! Alguém pode me ajudar? |
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| Autor: | Baltuilhe [ 14 abr 2019, 20:26 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Formula fechada - relação de recorrência [resolvida] |
Boa tarde! Usando os dados, teremos: \(a_1{=}1\\ a_2{=}a_1+3\times 5^2+2{=}\overbrace{1}^{a_1}+3\times 5^2+2{=}1+2+3\times 5^2\\ a_3{=}a_2+3\times 5^3+3{=}\overbrace{1+3\times 5^2+2}^{a_2}+3\times 5^3+3{=}1+2+3+3\times\left(5^2+5^3\right)\\ a_4{=}a_3+3\times 5^4+4{=}\overbrace{1+3\times 5^2+2+3\times 5^3+3}^{a_3}+3\times 5^4+4{=}1+2+3+4+3\times\left(5^2+5^3+5^4\right)\\ a_5{=}a_4+3\times 5^5+5{=}\overbrace{1+3\times 5^2+2+3\times 5^3+3+3\times 5^4+4}^{a_4}+3\times 5^5+5{=}1+2+3+4+5+3\times\left(5^2+5^3+5^4+5^5\right)\\ \vdots a_n{=}\overbrace{1+2+\ldots+n}^{\text{soma de pa}}+3\times\left(\overbrace{5^2+5^3+\ldots+5^n}^{\text{soma de pg}}\right)\\ a_n{=}\dfrac{n\cdot\left(n+1\right)}{2}+3\times\left[5^2\cdot\left(\dfrac{5^{n-1}-1}{5-1}\right)\right]\\ a_n{=}\dfrac{n\cdot\left(n+1\right)}{2}+3\cdot\dfrac{25}{4}\cdot\left(5^{n-1}-1\right)\\ \fbox{a_n{=}\dfrac{n\cdot\left(n+1\right)}{2}+\dfrac{75}{4}\cdot\left(5^{n-1}-1\right)}\) Espero ter ajudado! |
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